Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Soal dan Jawaban Materi  Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit

Soal dan Jawaban Materi Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit

Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal tentang limit dan kekontinuan plus dengan jawabannya. Sebelum masuk pada contoh soal, ada baiknya jika terlebih dahulu membaca dan mengerti materinya.
Langsung saja, berikut ini adalah contoh-contoh soal beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika tidak ada maka berikan alasannya.



Jawab:
1. Diperoleh


2. Diperoleh
Karena
 
maka:


Sehingga:


Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:

Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:



Agar f kontinu di x = a maka haruslah


Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jika ada:


Jawab:




Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a)

Jawab:


b)

Jawab:
tidak mempunyai limit karena tidak terdefinisi di x < 1.

c)

Jawab:


d)

Jawab:
Misalkan , maka f terdefinisi bila 2 - x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga tidak ada. Akibatnya tidak ada.

Bagian 5
Diketahui:

Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:


karena -1 # 0 maka limit tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:


sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:

Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan beserta alasannya

Jawab:
a) f (-1) = 2 karena f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga
b) karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) - cos x| =< g(x) -5. Jika maka dengan menggunakan Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan .

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) - cos x| =< g(x) -5
<==> - (g(x) - 5) =< f(x) - cos x =< g(x) -5
<==> 5 - g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) - 5 + cos x
Karena maka:


sehingga menurut Teorema Apit

Bagian 8
Dengan menggunakan Teorema Apit, hitunglah:


Jawab:
Diperoleh:



Karena dan


sehingga, maka menurut Teorema Apit dapat disimpulkan bahwa:


Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi untuk semua x adalah bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan

Jawab:




Karena

maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh: