Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Belajar Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Belajar Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Pengertian Persamaan Garis Singgung Kurva merupakan turunan dari Garis Lurus yang pernah kita pelajari waktu SMP, yaitu cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus. 

Gradien Garis selalu diberi simbol "m" dimana:
              *) y = mx + c = m
              *) ax + by = c adalah m = - a/b
              *) yaitu melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah m = y2 - y1 / x2 - x1

Gradien Dua Garis Lurus 
              *) Sejajar : m1 = m2
              *) Tegak Lurus : m1.m2 = -1

Persamaan Garis Lurus 
              *) Untuk Gradien satu titik (x1, y1) dan gradien m,  maka:
                   y - y1 = m (x - x1)
              *) Untuk Gradien Dua titik (x1, y1) dan (x2, y2), maka:
                  y - y1 / y2 - y1 = x - x1 / x2 - x1

Perhatikan Gambar Grafik Fungsi y = f(x)
grafik-fungsi.rumus-mtk.blogspot.com
Persamaan Garis Singgung Kurva
Seperti Latihan Berikut ini:
  1. Tentukan persamaan garis singgung kurva   y=x^2 di titik ( -1 , 1) !
    Jawab : 
    * cari m dulu  di x = -1
    \begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-1)\\ & = & - 2\end{array}

    * maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah
    \begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-1 & = & -2(x-(-1))\\y-1 & = & -2x-2\\y & = & - 2x-1\end{array}

  2. Tentukan persamaan garis singgung kurva   y=x^2 di titik yang berabsis (-2) !
    Jawab : 
    * cari m dulu  di absis x = -2
    \begin{array}{rcl}m & = & f'(-2)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-2)\\ & = & - 4\end{array}

    * Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y1 sehingga kita cari terlebih dulu
    \begin{array}{rcl}y & = & x^2\\ & = & (-2)^2\\y_1 & = & 4\end{array}

    * maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah
    \begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-4 & = & -4(x-(-2))\\y-4 & = & -4x-8\\y & = & - 4x-4\end{array}

  3. Tentukan persamaan garis singgung kurva    y=2x^2-3x yang sejajar garis   y = x  !
    Jawab : 
    * cari gradien m dari persamaan garis lurus y x
    ingat   y={\color{Red} m}x+c
    maka m = 1 , diketerangan soal,  garis saling sejajar, maka m1 = m2 = 1

    * cari titik singgungnya  (x1,y1)
    ingat m=f'(a) maka
    \begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\1 & = & 4x-3\\4x & = & 4\\x & = & 1 \end{array}

    x1 = 1 maka kita cari y1 dengan mensubtitusi x =1 ke   y=2x^2-3x
    \begin{array}{rcl}y & = & 2x^2-3x\\& = & 2(1)^2-3(1)\\y & = & -1\end{array}

    * maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah
    \begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-(-1)& = & 1(x-1)\\y+1 & = & x-1\\y & = & x-2\end{array}

  4. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva   y=-2x^2+6x+7 yang terletak tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
    Jawab : 
    * cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0
    ingat   {\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c maka     {\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}
    untuk x – 2y +13 = 0 maka {\color{Red} m}=-\frac{1}{(-2)}=\frac 12

    keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m1 . m2 = – 1
    \begin{align*}m_1.m_2 & = & -1\\\left ( \frac{1}{2} \right ) .m_2 & = & -1\\m_2 & = & (-1).\left ( \frac 21 \right )\\m_2 & = & -2\end{align*}

    * cari titik singgungnya  (x1,y1) dengan m = -2
    ingat m=f'(a) maka
    \begin{align*}m & = & f'(a)\\-2 & = & -4x+6\\-4x & = & -2-6\\x & = & 2\end{align*}

    x1 = 2 maka kita cari y1 dengan mensubtitusi x = 2 ke   y=-2x^2+6x+7
    \begin{array}{rcl}y & = & -2x^2+6x+7\\ & = & -2(2)^2+6(2)+7\\y & = & 11\end{array}

    * maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah
    \begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-11 & = & -2(x-2)\\y-11 & = & -2x+4\\y & = & -2x+15\\ & atau & \\ 2x+y-15 & = & 0\end{array}
Langkah dan Cara Menghitung Debit

Langkah dan Cara Menghitung Debit

Debit merupakan volume air yang mengalir dalam waktu tertentu melalui media penampang air, aliran sungai, saluran pipa atau keran.

Rumus Debit :

Cara untuk menghitung debit air adalah:
Langkah 1:
Tentukan volume air yang terpakai dengan cara mengurangi kedudukan meteran air (volume air terakhir) dengan kedudukan meteran air awal (volume air awal).

Langkah 2:
Ubah waktu penggunaan dalam satuan detik, yaitu:
Konversi waktu
1 jam = 60 menit
1 menit = 60 detik
1 jam = 3.600 detik
1 menit = 1/60 jam
1 detik = 1/60 menit
1 jam = 1/3.600 detik

Langkah 3:
Bagi volume air yang terpakai (point 1) dengan waktu (point 2)
Konversi Volume
1 liter = 1 dm3 = 1.000 cm3 = 1.000.000 mm3 = 0.001 m3
1 cc = 1 ml = 1 cm3

Latihan Soal:
Dalam waktu selama 1 jam sebuah keran air dapat mengalirkan air sebesar 3.600 m3. Berapa liter/detik debit air tersebut?

Diketahui:
Volume = 3.600 m3 = 3.600.000 dm3 = 3.600.000 liter
Waktu  = 1 jam = 3.600 detik

Ditanya:
Debit air dalam satuan liter/detik

Jawab:
Debit = 3.600.000 liter / 3.600 detik == 1.000 liter/detik
Mengingat Kembali Dengan macam - macam Bangun Datar Trapesium

Mengingat Kembali Dengan macam - macam Bangun Datar Trapesium

Trapesium merupakan salah satu bangun datar yang berbentuk segi empat yang dua sisinya saling sejajar.
Trapesium memiliki 3 macamnya yaitu: Trapesium siku-siku, Trapesium sama kaki dan Trapesium sembarang. 

Berikut ini adalah macam-macam Trapesium:

#Trapesium siku-siku
Trapesium siku-siku yaitu trapesium yang memiliki sudut siku-siku. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hany memiliki satu simetri putar. 
 AB sejajar dengan CD, ditulis AB // CD


#Trapesium sama kaki
Trapesium sama kaki yaitu trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang dan ada sepasang sisi yang sejajar. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki satu simetri putar. 
EF sejajar dengan GH ditulis EF // GH
Panjang EH sama dengan panjang GF ditulis EH = GF

#Trapesium sembarang
Trapesium sembarang yaitu trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang dan ada sepasang sisi yang sejajar. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki satu simetri putar.


Untuk mencari rumus luas trapesium yaitu: Luas = Jumlah sisi yang sejajar x 1/2 x tinggi

Contoh Latihan Soal:
1. Perhatikan gambar
Diketahui:
Panjang AB = 4 cm, CD = 10 cm dan  AD = 6 cm

Jawab:
Luas = (AB + CD) x 1/2 x AD

         = (4 + 10) x 1/2 x 6
         = 14 x 3
         = 42 cm2

2. Perhatikan gambar berikut:

Diketahui:
Panjang EF = 6 cm, GH = 10 cm dan Tinggi = 6 cm

Jawab:
Luas = (EF + GH) x 1/2 x t
         = (6 + 10) x 1/2 x 6
         = 16 x 3
         = 48 cm2


Memperdalam Lagi Materi Matematika Permutasi dan Kombinasi

Memperdalam Lagi Materi Matematika Permutasi dan Kombinasi

Masih ingat kah teman-teman tentang pengertian Permutasi dan Kombinasi? jika teman-teman sudah mulai lupa termasuk admin. Heheh.
Kita pelajari bersama yuk pengertian Permutasi dan Kombinasi.

#Permutasi
Permutasi merupakan penyusunan objek-objek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa objek-objek yang dimiliki harus dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya. Contoh ({234} tidak sama dengan {432} dan sebaliknya {324} atau {342}) Permutasi dapat dirumuskan nPx = (n!)/(n-x)!; dimana n = banyaknya seluruh objek sedangkan x = banyaknya objek yang dipermutasikan. 

Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari 0 (nol). Jika nilai x < n disebut dengan Permutasi Sebagian Objek. Jika nilai x = n maka disebut Permutasi Seluruh Objek, sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx = n!. 

Contoh Kasus:
* Terdapat tiga orang (P, X dan R) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang akan terjadi?

Jawab: nPx = n!; 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 cara yaitu (PQR, PRQ, RPQ, RQP, QPR, QRP) 

* Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih?

Jawab: nPx = (n!)/(n-x)!; 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara yaitu (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC).

* Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa cara yang terjadi?

Jawab : ada 6 permutasi yaitu : M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H

#Kombinasi
Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah “urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek tersebut.  Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.  {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C. 

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI
Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.
Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.

Contoh lain kombinasi :
Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
Semoga bermanfaat..!!

Cara Melakukan Perkalian Bilangan Bulat dengan aplikasi dari Google

Cara Melakukan Perkalian Bilangan Bulat dengan aplikasi dari Google

Perkalian adalah bentuk penjumlahan bilangan yang dilakukan secara berulang kali.  Contoh: kita akan menjumlahkan bilangan 20 sebanyak 4 kali yaitu 20 + 20 + 20 + 20 = 80. Kita dapat menyederhanakannya menjadi 4 x 20 = 80. 

Soal Latihan:
1. Tentukan nilai m jika m x 5 = 5 x 7
2. Hitunglah nilai dari 2 x (3 + 4) - (7 - 6) x 4 dengan menggunakan sifat distributif dan komutatif. 
3. Diketahui bahwa 2 x (m x 4) x n = 2 x 3 x 4 x 5. Tentukan Nilai dari m dan n

Sifat - Sifat Perkalian
  1. Sifat Tertutup
  2. Sifat Komutatif
  3. Sifat Asosiatif
  4. Sifat Distributif
  5. Adanya Elemen Identitas
Dari 5 lifat diatas akan kita jabarkan yaitu:
#Sifat Tertutup 
Sifat tertutup artinya, jika kita mengalikan bilangan (x) dengan bilangan (y), maka hanya ada satu bilangan yang memenuhi, misalnya (z), atau (x x y = z). Contoh 3 x 4 = 12

#Sifat Asosiatif
Sifat Asosiatif atau disebut juga dengan sifat pengelompokan. x x (y x z) = (x x y) x z = xyz. Contoh: 2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24. Kemudian, (2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24. Jadi, hasilnya sama.

Menggunakan Google:

#Sifat Distributif
x x (y + z) = (x x y) + (x x z atau x x (y - z [latex]) = ([latex] x x y) - (x x z). Contoh: 5 x (4 + 3) = 5 x 7 = 35. Sedangkan 5 x 4 + 5 x 3 = 20 + 15 = 35. Jadi hasilnya sama.



#Adanya Elemen Identitas
Yaitu perkalian suatu bilangan dengan bilangan yang lain yang menghasilkan bilangan yang sama, yaitu perkalian dengan 1. Contoh: 5 x 1 = 5, 7 x 1 = 7
Materi Matematika Tentang Trapesium  Lengkap

Materi Matematika Tentang Trapesium Lengkap

Trapesium adalah suatu bangun segi empat yang dua sisinya sejajar.

Macam-macam trapesium:
  1. Trapesium Siku-Siku, yaitu trapesium yang memiliki sudut siku-siku. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki satu simetri putar.
    trapesium siku-siku
    AB sejajar dengan CD, ditulis AB // CD

  2. Trapesium Sama Kaki, yaitu trapesium dimana sisi-sisi yang tidak sejajar sama panjang. Trapesium ini memiliki satu simetri lipat dan satu simetri putar.

    trapesium sama kaki
    EF sejajar dengan GH atau EF // GH
    Panjang EH sama dengan panjang GF atau EH = GF

  3. Trapesium Sembarang, yaitu trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang dan ada sepasang sisi yang sejajar. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan hanya memiliki satu simetri putar.
    trapesium sembarang

Rumus mencari luas trapesium
Luas = Jumlah sisi yang sejajar x ½ x tinggi


Contoh Soal

1).

Luas = (AB + CD) x ½ x AD

        = (4 + 10) x ½ x 6

        = 14 x 3
        = 42 cm²

2).

Luas = (EF + GH) x ½ x t
        = (6 + 10) x ½ x 6
        = 16 x 3
        = 48 cm2

3).Sebuah trapesium sembarang dengan luas 28 cm2.
     Jika jumlah sisi yang sejajar 14cm, berapakah tinggi trapesium itu?
Jawab:
Luas = Jumlah sisi yang sejajar x ½ x tinggi
  28  = 14 x ½ t
  28  = 7 x t
   t    = 28
            7
        = 4 cm
Materi Matematika Tentang Lingkaran  Lengkap

Materi Matematika Tentang Lingkaran Lengkap

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang mempunyai jarak tertentu terhadap suatu titik tertentu / titik pusat.
O sebagai titik pusat lingkaran. Jarak O dengan C atau O dengan B disebut sebagai jari-jari.
Panjang BC disebut "diameter", panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari.

lingkaran
OA = OB = OC = jari-jari
BC = diameter

Misal:
Jika panjang jari-jari 6cm, maka panjang diameternya 12cm
Jika panjang jari-jari 14cm, maka panjang diameternya 28cm
Jika panjang jari-jari 9cm, maka panjang diameternya 18cm





Rumus Mencari Luas Lingkaran :

Pada lingkaran penuh :
Rumus Mencari Luas Lingkaran pada lingkaran penuh

Luas = π x r x r
        = π r2







Pada ¾ lingkaran :
Rumus mencari luas Lingkaran pada ¾ lingkaran

Luas = ¾ x π x r x r

        = ¾ π r2






Pada ½ lingkaran :
Rumus mencari luas Lingkaran pada ½ lingkaran

Luas = ½ x π x r x r

        = ½ π r2



Pada ¼ lingkaran :

Rumus mencari luas Lingkaran pada ¼ lingkaran
Luas = ¼ x π x r x r

        = ¼ π r²





Rumus Mencari Keliling Lingkaran :

Keliling lingkaran = π x diameter atau 2 π r
Keterangan:
π = dibaca Phi (huruf yunani yang dibaca phi)
r = jari-jari
d = diameter

Harga phi berasal dari:
π = 22 = 3,142857124 = 3,14 (mendekati)
       7

Contoh soal:
1). Sebuah lingkaran memiliki diameter 14cm
panjang jari-jari, luas dan keliling lingkaran ?
Tentukan:
a. Panjang jari-jari
b. Luas lingkaran
c. Keliling lingkaran

Penyelesaian:
a. Panjang r = ½ d

                   = ½ x 14

                   = 7 cm

b. Luas π r² = 22 x 7 x 7
                       7
                   = 154 cm²

c. Keliling = π x diameter
                = 22 x 14
                    7
                = 22 x 14
                        7
                = 22 x 2
                = 44 cm

2).Sebuah bangun ¾ lingkaran memiliki jari-jari 7cm, berapakah luasnya?
Jawab:
Luas = 3 x π x r x r
           4
        = 3 x 22 x 7 x 7
           4     7
        = 3 x 22 x 7
                  4
        = 462
             4
        = 115,5 cm2

3). Sebuah lingkaran dengan diameter 14cm. Berapakah luas ½ dari lingkaran tersebut?
Jawab:
d = 14
r = 1 x 14 = 7cm
      2
Luas = 1 x π x r x r
            2
         = 1 x 22 x 7 x 7
            2     7
        = 1 x 22 x 7
                  2
        = 154
             2
        = 77 cm2
4). Carilah luas dari ¼ lingkaran yang memiliki diameter 14 cm.
Jawab:
d = 14
r = 1 x diameter
      2
  = 1 x 14
      2
  = 7 cm

Luas = 1 x π x r x r
            4
         = 1 x 22 x 7 x 7
            4     7

        = 1 x 22 x 7
                  4
        = 154
             4
        = 38,5 cm2
Materi Matematika Tentang Jajaran Genjang  Lengkap

Materi Matematika Tentang Jajaran Genjang Lengkap

Jajaran Genjang adalah bangun segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar sama panjang, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
jajaran genjang
jajaran genjang

Sifat-sifat jajaran genjang:
a. Sudut yang berhadapan sama besar (A = C ) dan ( B = D )
b. Sisi yang berhadapan sama panjang (AB = DC) dan (AD = BC)
c. Kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang (AE = EC) (DE = EB)
d. Mempunyai dua simetri putar
e. Tidak mempunyai simetri lipat.


Rumus Mencari Luas Jajaran Genjang :
Luas = alas x tinggi

Luas = alas x tinggiLuas = alas x tinggi


Contoh.
1).
Luas = alas x tinggi
        = 12 x 6
        = 72 cm2









2). Sebuah jajaran genjang dengan luas 72cm2 dan panjang sisi alasnya 18cm,
berapakah tingginya ?
Jawab:
Luas = alas x tinggi
   72 = 18 x t
      t = 72 : 18
      t = 4 , jadi tingginya 4cm 
Materi Matematika Tentang Layang-layang  Lengkap

Materi Matematika Tentang Layang-layang Lengkap

Layang-layang adalah suatu segi empat dimana sisi yang berdekatan sepasang-sepasang dan diagonalnya saling berpotongan serta tegak lurus.
layang-layang
layang-layang


AB=AD
BC=DC










Sifat Layang-layang:
  • Setiap sisi yang berpasangan sama panjang
  • Diagonalnya saling berpotongan dan tegak lurus. AC⊥BD
  • Mempunyai satu simetri lipat
  • Mempunyai satu simetri putar
  • Sudut yang berhadapan sama besar.ABC = ADC
  • Salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang. Diagonal yang lain tegak lurus dengan diagonal itu.

Rumus mencari luas layang-layang :
Luas layang-layang = ½ x AC x BD

Karena AC dan BD adalah diagonal maka luas layang-layang :
Luas = ½ x diagonal x diagonal

Contoh soal:
1). Jika AC = 20cm dan BD =12cm .Carilah luasnya !
carilah luas layang-layang
Jawab:
Luas = ½ x diagonal x diagonal
        = ½ x AC x BD
        = ½ x 20 x 12
        = ½ x 240
        =120cm²

2). Jika suatu layang-layang dengan luas 80cm2 dan salah satu panjang diagonalnya 16cm.
     Berapakah panjang diagonal yang lain ?
Jawab:
Luas = ½ x diagonal x diagonal
   80 = ½ x 16 x diagonal
   80 = 8 x diagonal

diagonal = 80
                  8
             = 10cm