Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Cara Menyelesaikan Persamaan Linear  Tiga Variabel

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Kali ini saya akan membahas tentang materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga Variabel Kelas X Semester 1Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel
Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
Jawab :
Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)
2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z
Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____   +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)
Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh
6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____  _
5x = 25
x = 5
Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga
x + y = 8
(5) + y = 8
y = 3
selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)
3x + 2y + z = 20
3.(5) + 2.(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}


Contoh soal 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46
Jawab :
Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
3x + 4y – 3z = 3  …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21  …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)
Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh
3x + 4y – 3z = 3    |1| → 3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21    |4| → 8x – 4y+16z = 84    +
.                                  11x + 13z = 87 ……………..(4)
Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh
5x + 2y + 6z = 46    |1| → 5x + 2y + 6z = 46
2x – y + 4z = 21      |2| → 4x – 2y + 8z = 42     +
.                                    9x + 14z = 88 …………..(5)
Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh
9x + 14z = 88   |11|   99x +154z = 968
11x + 13z = 87  |9|    99x + 117z=783       _
.                                      37z = 185
.                                          z = 5
Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)
11x + 13z = 87
11x + 13.(5) = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2
Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
5x +2y +6z = 46
5.(2) +2y +6.(5) = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}


Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4
adalah …
Jawab :
Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)
Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut
2x + 5y + 4z = 28
4z = 28 – 2x – 5y
 ………………………………………..(4)
Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga
3x – 2y + 5z = 19
Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh
12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76
2x -33y = -64 ……………………………………….(5)
Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
6x + 3y – 2z = 4
Jika kedua ruas dikali 4 maka
24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16
28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x
…………………………………………(6)
Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga
2x -33y = -64
2x – 108 + 42x = -64
44x = 44
x=1
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}
Cara Menyelesaikan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Cara Menyelesaikan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.

Misalnya:

Parhatikan garis bilangan berikut.







Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6

Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 

jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3

Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.



Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 

Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.

Misalnya seperti berikut.






Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.





Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.





Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.

Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.


Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.









Jawaban:

Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 

1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2

   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}


2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3

                                       2x = 2  <==>  x = 1

   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3

                                         2x = -8  <==> x = -4

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}


3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (x + 1) + 2x = 7

                   3x = 7 - 1

                   3x = 6

                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(x + 1) + 2x = 7

        -x - 1 + 2x = 7

                      x = 7 + 1                

                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.


 4.  Perhatikan bentuk  aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai  mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. 
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (3x + 4) = x - 8

        3x - x = -8 - 4

             2x =-12

               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)

(**) untuk x < -4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(3x + 4) = x - 8

        -3x - 4 = x -8

         -3x - x = -8 + 4

              -4x = -4

                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)


Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .

Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.







Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.








Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.









Jawaban

1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.

    -9 < x+7 < 9

    -9 - 7 < x < 9 - 7

       -16 < x < 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}


2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.

   (*) 2x - 1 >=  7

             2x  >=  7 + 1

             2x  >= 8

               x  >= 4


  (**) 2x - 1 <= -7


             2x   <= -7 + 1

             2x   <= -6

               x   <= -3
  
    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}


 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)2 <= (2x – 3)2

(x + 3)2 - (2x – 3)2
<= 0


(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3)
<= 0 (ingat: a2 – b2 =
(a+b)(a-b))



x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan  penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. Mari selidiki menggunakan garis bilangan





Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi. Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.








Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.








Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.

1. Untuk batasan x >= -1/3  ......(1)

   (3x + 1) - (2x + 4) < 10

          3x + 1 - 2x- 4 < 10

                         x- 3 < 10

                             x < 13 .......(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13




2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ......(1)

    -(3x + 1) - (2x + 4) < 10

          -3x - 1 - 2x - 4 < 10

                       -5x - 5 < 10

                             -5x < 15 

                               -x < 3

                             x > 3 .......(2)

Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.



3. Untuk batasan x < -2  ......(1)

   -(3x + 1) + (2x + 4) < 10

         -3x - 1 + 2x + 4 < 10

                        -x + 3 < 10

                             -x  < 7

                                x > -7 .......(2)



Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.



Tabel Sudut - sudut Istimewa Matematika Trigonometri

Tabel Sudut - sudut Istimewa Matematika Trigonometri

Tabel sudut istimewa trigonometri – Buat sobat hitung tercinta, berikut ini rangkuman nilai sin cos dan tan sudut istimewa yang dirangkum dalam tabel sudut istimewa. Sudut istimewa sendiri merupakan sudut-sudut yang mempunyai nilai derajat tertentu seperti 30, 60, 45, 90, dan lain-lain. Tabel ini bisa memudahkan anda belajar maupun mengerjakan soal trigonometri.
tabel sudut istimewa trigonometri
Tabel Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran I
30° 45° 60° 90°
sin 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1
cos 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
tan 0 1/3 √3 1 √3
Tabel Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran II
90° 120° 135° 150° 180°
sin 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
cos 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 -1
tan -√3 -1 1/3 √3 0
Tabel Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran III
180° 210° 225° 240° 270°
sin 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 -1
cos -1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
tan 0 1/3 √3 1 √3
Tabel Sudut Istimewa Trigonometri Kuadran IV
270° 300° 315° 330° 360°
sin -1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
cos 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1
tan -√3 -1 1/3 √3 0

Trik Cepat Menghafal Sudut - Sudut Istimewa Matematika Trigonometri

Trik Cepat Menghafal Sudut - Sudut Istimewa Matematika Trigonometri

Sobat hitung, berikut ini ada Cara Menghafal trigonometri sudut istimewa yang bisa memudahkan sobat untuk menghafal nilai sin, cos, dan tan dari sudut-sudut istimewa.
cara cepat menghafal trigonometri sudut istimewa

Cara menggunakannya,
  1. Rumus kita gunakan sebagai rumus dasar menentukan nilai trigonometri sudut istimewa adalah “1/2 akar n” dengan n adalah angka-angka di jari tangan.
  2. Untuk Sin x menggunakan angka dengan background HIJAU yang searah dengan jarum jam, dan Cos x Backgroud Kuning yang berlawanan dengan arah jarum jam.
  3. Sudut Istimewa mulai dari 0 di kelingking sampai 90 di jempol
  4. Untuk mencari trigonometri (sin cos tan) sudut istimewa kita tinggal memasukkan nilai n pada rumus yang ada d
  5. Untuk Mendapatkan Nilai tangen trigonometri sudut istimewa tinggal membagi nilai Sin dengan nilai Cos yang telah sobat temukan.
tan x = sin x/ cos x
Bingngun? Mari kita lihat contoh berikut
Sin 90, Lihat warna hijau, jari telunjuk n= 4 —-> sin 90 = 1/2 x akar 4 = 1/2 x 2 = 1
Cos 60, Lihat warna kuning, jari telunjuk n =1 makan Cos 60 = 1/2 akar 1 = 1/2
Rumus Matematika Untuk Menghitung Kecepatan

Rumus Matematika Untuk Menghitung Kecepatan


Cara menghitung kecepatan – Kecepatan adalah hal selalu kita lakukan dalam kehidupan dan aktivitas setiap hari. Seperti berpergian, kerja, bermain. Tanpa kita sadari kita melakukan yang disebut kecepatan. Kali ini kita akan mempelajari Cara menghitung kecepatan. Berikut proses langkah-langkah Cara menghitung kecepatan.
Cara menghitung kecepatan
Kriteria :
  • Menghitung waktu tempuh
  • Menghitung jarak tempuh
  • Menghitung kecepatan rata-rata
Rumus Cara menghitung kecepatan:
Cara Menghitung Waktu yang ditempuh
  • Jarak : Kecepatan rata-rata
Cara Menghitung Kecepatan rata-rata
  • Jarak : Waktu yang ditempuh
Cara Menghitung Jarak yang ditempuh
  • Kecepatan rata-rata X Waktu yang ditempuh
V = S/t
V = Kecepatan rata-rata
S = Jarak tempuh
t = waktu
1. Jarak dari kota A ke kota B 100 Km. Sebuah kendaraan melaju dengan kecapatan rata-rata
50 Km/jam. Jika kendaraan tersebut berangkat Pukul. 05.00. hitunglah :
a. Berapa lama waktu yang ditempuh ?
b. Pukul Berapakah Kendaraan tersebut tiba di kota B ?
Jawaban menghitung kecepatan :
a. Waktu yang ditempuh = 100 Km : 50 Km/jam = 2 jam
b. Tiba di kota B = Pukul 05.00 + 2 jam = Pukul 07.00
Demikian Cara menghitung kecepatan semoga bermanfaat bagi Anda.
Artikel yang terkait dengan Cara menghitung kecepatan, rumus kecepatan dan jarak, rumus percepatan, rumus percepatan dan kecepatan, rumus kecepatan, rumus kecepatan rata-rata, kecepatan
Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Apa sih Aljabar Itu?
Anggapan bahwa aljabar matematika adalah sesuatu yang menyeramkan tidak pasti benar. Sobat mungkin hanya salah persepsi atau terpengaruh anggapan banyak orang. Selain itu mungkin hanya karena sobat saking takutnya, kemudian berimbas pada ulangan matematika yang jelek dan aljabar dijadikan kambing hitam. Kita semena-mena menyebutnya susah dan mengerikan.
Aljabar secara sederhana bisa disebut operasi matematika (penjumlahan, pengurang, dan temen-temennya) yang melibatkan variabel yang nampak berupa symbol-symbol dan angka. Adakah sobat hitung yang tahu dari mana asal kata aljabar? Aljabar berasal dari kata Al-Jebr atau oleh bangsa eropa sering ditulis algebra. Al-jebr adalah sebuah buku yang ditulis oleh seorang muslim bernama Al-Khawarizmi, ahli matematika asal pesia yang karyanya telah dijadikan dasar matematika modern.

Rumus Cepat Aljabar, perlukah?

Sebenarnya agar cepat mengerjakan soal aljabar tidak harus dengan rumus cepat aljabar. Jika kita belajar hanya dengan menghafal berbagai rumus tapi tidak paham makna dan mengerti maksudnya pasti akan cepat lupa. Cobalah memahami dasarnya dan berpikir secara logis dan tentunya ditambah banyak latihan. Aljabar adalah dasar dan ia bakal dipakai dalam banyak perhitungan matematika. Contoh sederhananya
Ketika ada persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Prinsipnya berpikirlah sederhana dan logis.
Contoh:
X + 7 = 10, berapa nilai x
X + 7 -7 = 10 – 7 (masing-masing ruas kurangi dengan 7)
X = 3
Jika ada soal 1252 -1242 = …
Akan sangat lama jika harus mennghitung kuadrat dari 125 dan kuadrat 124 kemudia baru kita kurangkan. Kadang sobat harus berpikir simple bahwa kita tahu a2 -b2 = (a+b) (a-b) = (125+124) (125-124) = 249 x 1 = 249 kalau tidak percaya silahkan sobat hitung pakai kalkulator. Contoh lain
99^2 – 98^2 = ???
= …. = 197 (Selesai.)
Caranya:
99^2 – 98^2 = (99+98).(99-98) = 197
Rumus cepat aljabar di atas juga bisa dipakai untuk case yang berbeda seperti tampak di bawahh ini
berapa hasil 102 x 98 = ???= (100 + 2)(100 – 2)
= 100^2 – 2^2
= 10.000 – 4 = 9.996 (tidak susah kan sobat).
Tips Mudah Menghitung Presentase

Tips Mudah Menghitung Presentase


persen artinya sendiri adalah perseratus dan persentase sendiri merupakan nilai suatu perbandingan jika dijadikan dalam skala seratus atau lebih gampangnya nilai perbandingan (pecahan) jika penyebutnya dijadikan seratus.
cara menghitung persentaseContoh misalnya saya punya 4 buah kelereng dan 3 diantaranya berwarna putih. Jika saya ditanya berapa presentase kelereng putih maka cara menghitung presentasenya
3/4 x 100 % = 75 %
Coba sobat lihat angka 100% sebenarnya bernilai satu, 100 persen = 100/100. Jadi perubahan ke bentuk presentase sekali lagi hanya merubah bentuk tanpa merubah nilai. Karena suatu nilai atau bilangan yang dikali satu sejatinya tidak pernah berubah.
Jadi dapat disimpulkan cara menghitung persentase adalah sebagai berikut
Presentase = Jumlah dicari persentasenya/ jumlah keseluruhan x 100%
Saya membeli dispenser senilai 100.000, karena ternyata dispenser itu ada yang cacat dan tidak bisa ditukar maka saya jual dengan harga 67.000. Berapa persentase kerugian saya.
Cara menghitung persentase kerugiannya
jumlah kerugian/harga beli x 100%
100.000-67.000/100.00 x 100% = 33%
contoh soal lain
saya seorang pedagang, saya beli gula perkilonya 9800. Jika saya menginginkan untung 20% maka berapa gula tersebut harus saya jual lagi.
sobat bisa saja menghitung nilai keuntungan yang 20% nya dulu baru kemudian ditambahkan dengan 9.800. atau dengan cara yang lebih cepat.
120%
—– x 9.800 = 11.760
100%
penggunaan persentase dalam kehidupan sehari-hari bermacam-macam mulai dari pendidikan di sekolah, pedagang di pasar, bunga pinjaman, material bangunan dan lain-lain