Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Pengertian dan Pola Barisan Bilangan Fibonacci

Pengertian dan Pola Barisan Bilangan Fibonacci

Barisan bilangan dapat didefinisikan sebagai suatu urutan yang terdiri atas bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan aturan-aturan dan pola tertentu. Elemen yang ada pada sebuah barisan bilangan biasa disebut dengan suku. Di dalam matematika ada berbagai macam bentuk barisan bilangan mulai dari barisan geometri, barisan persegi, barisan aritmetika, dan ada juga yang dinamakan barisan Fibonacci
Pengertian dan Pola Barisan Bilangan Fibonacci

Pengertian Bilangan Fibonacci

Barisan bilangan Fibonacci pertama kali dikemukakan oleh Leonardo Pisano atau lebih dikenal sebagai Fibonacci. Ia merupakan seorang ahli matematika yang cukup terkenal di masa abad pertengahan. Barisan Fibonacci merupakan sebuah barisan bilangan yang memiliki bentuk yang unik. Suku pertama dari barisan bilangan ini adalah 1, kemudian suku keduanya juga 1, lalu untuk suku ketiga ditentukan dengan menjumlahkan kedua suku sebelumnya sehingga diperoleh barisan bilangan dengan pola di bawah ini:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...dan seterusnya.

Pola bilangan tersebut ditemukan oleh Fibonacci ketika ia mengamati sebuah peternakan kelinci dimana jumlah kelinci di peternakan tersebut berkembang biak sehingga membentuk pola yang menarik untuk diamati oleh matematikawan ini.

Jumlah kelinci di bulan pertama  ada 1 pasang
Jumlah kelinci di bulan kedua     ada 1 pasang
Jumlah kelinci di bulan ketiga     ada 2 pasang
Jumlah kelinci di bulan keempat ada 3 pasang
Jumlah kelinci di bulan kelima    ada 5 pasang

Hasil dari pengamatan tersebutlah yang menjadi dasar terbentuknya bilangan Fibonacci ini.

Rumus Barisan Bilangan Fibonacci

Karena bilangan ini memiliki pola yang teratur, maka dapat dirumuskan menjadi seperti berikut ini:
Fn = Fn-1 + Fn-2

dengan syarat

n ≥ 3

F0 = 0 dan F1 = 1

Contoh Soal Cerita Model Matematika SMA

Contoh Soal Cerita Model Matematika SMA

Di dalam beberapa artikel sebelumnya Rumus Matematika telah memberikan materi mengenai Pengertian Program Linear Dan Model Matematika bahkan di dalam salah satu artikel blog ini juga telah diberikan beragam ContohSoal Dan Penyelesaian Model Matematika . jika kalian menyimak kedua materi tersebut dengan baik, pastinya kalian akan bisa menjawab soal-soal mengenai model matematika dengan mudah. Seperti yang akan diberikan pada postingan kali ini. Ada 5 buah contoh soal cerita mengenai materi model matematika yang bisa kalian selesaikan untuk melatih kemampuan kalian mengenai materi tersebut. Yuk langsung saja kita lihat soal-soalnya di bawah ini:

Contoh Soal Cerita Model Matematika SMA



Contoh Soal Cerita Matematika SMA Mengenai Model Matematika


Soal 1
Untuk membuat satu cetak roti A dipergunakan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat satu cetak roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, maka jumlah kedua macam roti yang dapat dibuat paling banyak ….

A. 40 cetak
B. 45 cetak
C. 50 cetak
D. 55 cetak
E. 60 cetak


Soal 2
Untuk menjaga kebugarannya, nenek diharuskan mengonsumsi dua jenis obat setiap harinya. Obat yang pertama mengandung 5 unit vitamin C dan 3 unit vitamin B12, Sedangkan obat yang kedua mengandung 10 unit vitamin C dan 1 unit vitamin B12. Di dalam satu hari, nenek membutuhkan 20 unit vitamin C dan 5 unit vitamin B12. Apabila harga dari tiap butir obat pertama adalah Rp. 400 dan harga dari tiap butir obat kedua adalah Rp.800, Maka berapakah pengeluaran minimum yang dapat dikeluarkan nenek untuk membeli obat tersebut per harinya ….

A. Rp.1800
B. Rp.1400
C. Rp.2000
D. Rp.1200
E. Rp.1600

Soal 3
Seorang pedagang membeli arloji wanita seharga $60 dan arloji pria seharga $24. Tas pedangang hanya mampu membawa tidak lebih dari 30 arloji. Modal pedagang $3,600. Jika keuntungan arloji wanita $25 dan arloji pria $75 maka jumlah keuntungan tertinggi ….

A. $850
B. $950
C. $1250
D. $1050
E. $1750


Soal 4
Pak Abdul memiliki sebuah toko pakaian. Ia ingin mengisi tokonya dengan pakaian pria paling sedikit 100 potong, dan pakaian wanita paling sedikit 150 potong. Toko milik pak Abdul tersebut bisa memuat paling banyak 400 potong pakaian. Keuntungan dari setiap potong pakaian pria adalah Rp. 1000 dan setiap potong pakaian wanita adalah Rp. 500. Apabila banyaknya pakaian pria tidak diperkenankan lebih dari 150 potong, maka berapakah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pak Abdul….


A. Rp. 375.000
B. Rp. 300.000
C. Rp. 275.000
D. Rp. 325.000
E. Rp. 350.000



Soal 5
Luas dari sebuah areal parkir adalah  176 m2, Luas rata-rata yang dibutuhkan untuk memarkir satu buah motor adalah 4m2 dan untuk mobil adalah 20 m2. Area parkir tersebut hanya bisa menampung maksimal 20 kendaraan, Biaya parkir untuk motor adalah Rp. 1000/jam sedangkan untuk mobil adalah Rp.2000/jam. Apabila di dalam waktu satu jam parkir penuh dan tidak ada kendaraan keluar dan masuk ke area parkir tersebut, maka hasil maksimum yang dapat diperoleh tempat parkir tersebut adalah …

A. Rp. 20000
B. Rp. 30000
C. Rp. 34000
D. Rp. 26000
E. Rp. 44000
Contoh-contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat dan Persamaan Nilai Mutlak Matematika SMA

Contoh-contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat dan Persamaan Nilai Mutlak Matematika SMA

Setelah sebelumnya diberikan Contoh Soal Persamaan Kuadrat Matematika SMA. Tak lengkap rasanya bila tidak diberikan pula soal-soal tentang materi pertidaksamaan. Di sini ditambahkan pula beberapa soal tentan persamaan nilai mutlak.  Untuk bisa mengerjakan dan menjawab soal-soal mengenai pertidaksamaan, kalian harus memahami dengan baik sifat-sifat dari pertidaksamaan, selain itu kalian juga harus mengerti mengenai langkah-langkah di dalam penyelesaian pertidaksamaan. Sedangkan untuk soal tentang persamaan nilai mutlak, kalian harus mengerti dengan baik tentang cara mencari persamaan nilai mutlak dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan tersebut.

Contoh-contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat dan Persamaan Nilai Mutlak Matematika SMA

Di bawah ini Matematika Dasar mencoba menghadirkan beragam contoh soal pertidaksamaan kuadrat dan persamaan nilai mutlak dalam bentuk pilihan ganda yang mungkin bisa membantu kalian dalam menguji kemampuan di dalam pemahaman materi mengenai persamaan kuadrat. Selamat mengerjakan.



Kumpulan Contoh Soal Matematika SMA mengenai Pertidaksamaan Kuadrat dan Nilai Mutlak

Soal 1
Jika a > b, maka ….
(1) a + 4 > b + 4
(2) -4a < -4b
(3) 4a > 4b
(4) a – 4 < b – 4

a. 1, 2, dan 3 benar
b. 1 dan 3 benar
c. 2 dan 4 benar
d. 4 benar
e. semua benar


Soal 2
Jika bilangan real a, b, dan c memenuhi pertidaksamaan a > b dan b > c, maka ….
(1) a + b > a + c
(2) a + b – 2c > 0
(3) a > c
(4) b + c > 2a

a. 1, 2, dan 3 benar
b. 1 dan 3 benar
c. 2 dan 4 benar
d. 4 benar
e. semua benar


Soal 3
Pertidaksamaan a3 + 3ab2 > 3a2b + b3 dipenuhi oleh setiap a dan b yang memenuhi sifat ….

a. a dan b positif
b. a dan b berlawanan tanda
c. a positif dan b negative
d. a > b
e. a2> b2


Soal 4
Bila diketahui ab > 0, maka dapat disimpulkan bahwa ….

a. a > 0
b. a > 0 dan b < 0
c. b > 0
d. a dan b bertanda sama
e. a > 0 dan b > 0


Soal 5
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 1 < x + 1 < 3 – x ialah ….

a. {x | x < 1}
b. {x | x > 1}
c. {x | x < 2}
d. {x | x > 2}
e. {x | 0< x < 2}


Soal 6
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 < -2x + 5 ≤ 7 adalah …..

a. -3 < x ≤ 1/2
b. -1 ≤ x < 1/2
c. -1 < x < 2
d. 1 ≤ x ≤ 2
e. x > 1/2

Soal 7
Nilai x ε R yang memenuhi pertidaksamaan x2< 9 adalah ….

a. x < 3
b. x > -3
c. 0 < x < 3
d. -3 < x < 3
e. 1 < x < 4


Soal 8
Bila diketahui ab > 0, maka dapat disimpulkan bahwa ….

a. a > 0
b. a > 0 dan b < 0
c. b > 0
d. a dan b bertanda sama
e. a > 0 atau b > 0


Soal 9
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3, x bilangan rasional adalah …..

a. { x | x < -4}
b. { x | x > -4}
c. { x | x < 4}
d. { x | x > 4}
e. { x | x > 2/3}


Soal 10
Jika (x3– 4x)(x2 – 2x + 3) > 0, maka ….

a. x < -2
b. -2 < x < 2
c. -2 < x < 0 atau x > 2
d. 0 < x < 2
e. x > 4

Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat Matematika SMA

Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat Matematika SMA

Soal-soal mengenai persamaan kuadrat pada umumnya berkaitan dengan konsep-konsep yang diajarkan pada materi pelajaran matematika disekolah mengenai penentuan akar dengan metode pemfaktoran, diskriminan, penentua nilai konstanta sebuah persamaan kuadrat, sampa dengan cara menentukan persamaan kuadart baru. Jika kalian sudah merasa paham dengan materi-materi tersebut tidak ada salahnya bila kalian menguji kemampua kalian dengan mencoba mengerjakan contoh-contoh soal yang diberikan oleh Rumus Matematika  berikut ini:

Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat Matematika SMA

Contoh-contoh Soal Matematika SMA Mengenai Persamaan Kuadrat


Soal 1
Persamaan x2 + 2x – 3 = 0 dan x2 + x – 2 = 0 mempunyai akar persekutuan …

a. x = -6
b. x = -2
c. x = -1
d. x = 1
e. x = 3


Soal 2
Jika salah satu akar persamaan ax2 + 5x – 12 = 0 adalah 2, maka …

a. a = 1/2 ; akar yang lain 12
b. a = 1/4 ; akar yang lain 12
c. a = 1/3 ; akar yang lain – 12
d. a = 2/3 ; akar yang lain 10
e. a = 1/2 ; akar yang lain -12


Soal 3
Salah satu akar persamaan x2 – 4x + 3a = 0 adalah tiga kali salah satu akar persamaan x2 – 3x + 2a = 0. Jika a positif, maka a = ….

a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5


Soal 4
Persamaan kuadrat ax2 – 2(a – 1) + a = 0, mempunyai dua akar real yang berbeda apabila ….

a. a= 1
b. a > 1/2
c. a ≥ 1/2
d. a < 1/2, a ≠ 0
e. a ≤ 1/2


Soal 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 – (2a – 3)x + (a + 6) = 0 mempunyai akar kembar, maka akar kembar itu sama dengan ….

a. -5
b. -4
c. 1/4
d. 4
e. 5


Soal 6
Salah satu akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1dan x2, sedangkan akar-akar persamaan x2 + 10x – 16p = 0 adalah 3x1 dan 4x2 , maka nilai p adalah ….

a, 4
b. 6
c. 8
d. 10
e. 16


Soal 7
Jika persamaan 18x2 – 3px + p = 0 mempunyai akar kembar, maka banyak himpunan bagian dari himpunan penyelesaian p adalah ….

a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4


Soal 8
Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (2m + 4)x + 8m = 0 sama dengan 52, maka salah satu nilai m = ….

a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
e. 9


Soal 9
Bila akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2ax + a + 2 = 0 tidak sama tandanya, maka ….
a. a < -1 atau a > 2

b. -1 < a < 2
c. -2 < a < 2
d. -2 < a < -1
e. a < -2


Soal 10
Diketahui persamaan 2x2 – 4x + a = 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat dua akar berlainan yang positif, maka ….

a. a > 0
b. a < 2
c. 0 < a < 2
d. 0 < a < 4
e. 2 ≤ a < 4
Contoh Soal Fungsi Kuadrat Matematika SMA

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Matematika SMA

Pada kesempatan ini Rumus Matematika  kembali memberikan contoh-contoh soal bagi kalian yang duduk di bangku SMA mengenai materi fungsi kuadrat. di dalam mengerjakan soal-soal tersebut tentunya kalian harus memahami dengan baik mengenai konsep dasar dalam fungsi kuadrat mencakup bentuk umum dari fungsi kuadrat, sifat-sifat grafik fungsi kuadrat, nilai diskriminan dan masih banyak lagi. Kalian juga harus mempelajari rumus-rumus yang digunakan dalam soal-soal yang membahas materi fungsi kuadrat.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Matematika SMA

Contoh-contoh soal di bawah ini sengaja diberikan untuk bisa kalian gunakan sebagai sarana belajar dan berlatih untuk memperdalam pemahaman materi yang tentunya telah diajarkan oleh guru kalian di sekolah. Dengan rajin berlatih pasti kalian akan lebih mahir di dalam menyelesaikan persoalan-persoalan matematika seputar fungsi kuadrat seperti berikut ini:


Contoh Soal Matematika SMA Mengenai Fungsi Kuadrat


Soal 1
Jarak kedua titik potong parabola y = x2 – px + 24 dengan sumbu X adalah 5 sauan panjang, maka p = ….

a. ± 6
b. ± 8
c. ± 10
d. ± 11
e. ± 12


Soal 2
Jika fungsi kuadrat f(x) = 2ax2 – 4x + 3a mempunyai nilai maksimum 1, maka 27a3 – 9a = …

a. -2
b. -1
c. 3
d. 6
e. 18


Soal 3
Agar persamaan (t + 1)x2 – 2tx + (t – 4) bernilai negative untuk semua x, maka nilai t adalah …

a. t > -1/3
b. t < - 4/3
c. t > -1
d. 1 < t < 4/3
d. -4/3 < t < -1


Soal 4
Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 4)x + 1/2 seluruhnya diatas sumbu X, maa nilai k tidak mungkin sama dengan …

A. 1 1/2
b. 2 1/2
c. 3 1/2
d. 4 1/2
e. 5 1/2


Soal 5
Jika fungsi f(x) = -2x2 – (a + 1)x + 2a mempunyai nilai maksimum 8, maka nilai a = ….

a. 3
b. -21
c. -3
d. 3 atau -21
e. 3 atau 21

Soal 6
Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan memiliki nilai 3 untuk x = 2 adalah …

a. y = x2 – 2x + 1
b. y = x2 – 2x + 3
c. y = x+ 2x + 1
d. y = x2 + 2x – 1
e. y = x2 + 2x + 3


Soal 7
Jika pada suatu fungsi kuadrat f(x) diketahui bahwa f(1) = f(3) = 0 dan mempunyai nilai maksimum 1, maka f(x) adalah …..

a. x2 – 4x + 3
b. –x2 + 4x – 3
c. x2 – 2x + 3
d. –x2 + 2x + 3
e. x2 – 2x – 3


Soal 8
Fungsi kuadrat y = f(x) yang grafiknya melalui titik (2, 5) dan (7, 40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1, mempunyai nilai ekstrim ….

a. minimum 2
b. minimum 3
c. minimum 4
d. maksimum 3
e. maksimum 4


Soal 9
Agar garis y = -x – 2 menyinggung parabola y = x2 – px + p – 4, maka nilai p adalah ….

a. 4
b. -3
c. 1
d. 3
e. 4


Soal 10
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x2 + x + 1 di titik yang absisnya 1 adalah ….

a. y = 2x + 1
b. y = 5x + 2
c. y = 4x + 1
d. y = 5x + 1
e. y = 5x -1

10 Contoh Soal Cerita Permutasi dan Kombinasi Matematika SMA

10 Contoh Soal Cerita Permutasi dan Kombinasi Matematika SMA

Sebelumnya Rumus Matematika telah membahas Perbedaan Permutasi Dan Kombinasi Matematika. Permutasi adalah konsep di dalam menyusun kumpulan objek ataupun angka menjadi urutan yang bervariasi tanpa adanya pengulangan, sementara kombinasi adalah kumpulan dari sebagian ataupun seluruh objek tanpa memperdulikan urutannya. Untuk menguji kemampuan kalian mengenai materi tersebut, berikut ini dihadirkan beberapa contoh soal yang dapat kalian gunakan sebagai sarana latihan guna memperdalam pemahaman materi pelajaran matematika seputar permutasi dan kombinasi matematika.

10 Contoh Soal Cerita Permutasi dan Kombinasi Matematika SMA

Bentuk soal yang diberikan di sini adalah soal cerita. Yuk mari kita simak langsung soal-soalnya di bawah ini:

Contoh Soal Cerita Permutasi dan Kombinasi Matematika SMA


Soal 1
Dalam pemilihan murid teladan, tersedia calon yang terdiri atas 5 orang putra dan 4 orang putri. Jika akan dipilih pasangan murid teladan yang terdiri atas seorang putra dan seorang putri, maka banyak pasangan yang terpilih ada …

a. 9
b. 16
c. 18
d. 20
e. 36

Soal 2
Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Di antara bilangan-bilangan tersebut, banyaknya bilangan yang kurang dari 400 adalah …

a. 16
b. 12
c. 10
d. 8
e. 6

Soal 3
Seorang murid diminta mengerjakan 7 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan nomor 3 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah …

a. 37
b. 35
c. 33
d. 31
e. 29

Soal 4
Banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 7, dan 9 (dengan tiap bilangan tidak memuat angka yang sama) ada …

a. 6!
b. 6!/2!
c. 6!/3!
d. 6!/4!
e. 6!/5!

Soal 5
Ali, Bagong, Candra, dan Darso hendak bekerja secara bergiliran. Banyak urutan bekerja yang dapat disusun kalau Ali selalu pada giliran terakhir ada ...

a. 3 cara
b. 6 cara
c. 12 cara
d. 18 cara
e. 24 cara

Soal 6
Suatu kompetisi olahraga diikuti 7 tim, yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera tiap tim itu akan dikibarkan pada 7 buah tiang yang diatur dalam satu baris. Ada berapa cara untuk mengatur bendera-bendera tim A dan tim B berada di ujung?

a. 5!/2! cara
b. 5! cara
c. 7!/2! cara
d. 2(5!) cara
e. 2(6!) cara

Soal 7
Dari 10 pemain bulu tangkis pria akan dibentuk pasangan ganda pria. Banyaknya pasangan ganda yang akan terbentuk adalah ...

a. 10
b. 20
c. 45
d. 360
e. 720

Soal 8
Himpunan A memiliki 10 anggota. Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai banyak anggota ganjil adalah ...

a. 256
b. 282
c. 512
d. 564
e. 1024

Soal 9
Dalam suatu ruangan terdapat 5 orang yang belum saling mengenal. Kalau mereka ingin berkenalan dengan cara berjabat tagan sekali tiap orang yang ada di ruangan itu, maka jabat tangan yang terjadi sebanyak ...

a. 5 kali
b. 10 kali
c. 15 kali
d. 20 kali
e. 24 kali

Soal 10
Dari suatu kelompokrdiri atas 9 orang akan dibentuk panitia yang terdiri atas 4 orang. Susunan panitia yang dapat terjadi adalah ...

a. 36
b. 72
c. 126
d. 150
e. 175
Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Model Matematika – Pada postingan sebelumnya kita sama-sama belajar tentang Pengertian Program Linear Dan Model Matematika SMA Kelas 11. Oleh karenanya, Rumus Matematika akan melanjutkan materi tersebut kali ini dengan menghadirkan beberapa contoh soal mengenai model matematika. Model matematika merupakan sebuah rumusan matematika yang didapatkan dari sebuah proses penafsiran sebuah kejadian sehari-hari ke dalam rumus atau bahasa matematika. Agar kalian lebih memahami cara membuat model matematika dari suatu masalah program linear, simaklah contoh-contoh berikut:

Contoh Soal dan Penqelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear


Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear


Contoh Soal 1:
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang K dan L dengan menggunakan dua buah mesin yaitu G1 dan G2. Untuk memproduksi barang K, mesin G1 harus beroperasi selama 3 menit dan mesin G2 selama 6 menit. Sedangkan untuk memproduksi barang L, mesin G1 harus beroperasi selama 9 menit dan mesin G2 beroperasi selama 6 menit. Mesin G1 dan G2 hanya bisa beroperasi tidak lebih dari 9 jam dalam sehari. Keuntungan bersih yang didapat untuk tiap barang K adalah Rp.350 dan untuk tiap barang L adalah Rp.700. 

Cobalah untuk membuat model matematika dari masalah program linear tersebut, apabila diharapkan keuntungan bersih yang sebesar-besarnya.

Penqelesaian:
Keterangan pada soal diatas dapat dituliskan dalam tabel seperti berikut ini:


Barang K
Barang L
Operasi tiap hari
Mesin G1
3 Menit
9 Menit
540 Menit
Mesin G2
6 Menit
6 Menit
540 Menit
Keuntungan
Rp. 350
Rp. 700


Kita misalkan Barang K diproduksi sebanyak p buah dan barang L diproduksi sebanyak q buah, maka:

Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G1 = 3p + 9q
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G2 = 6p + 6q

Dikarenakan  mesin G1 dan G2 Tidak boleh beroperasi lebih dari 9 jam = 540 menit setiap harinya, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

3p + 9q ≤ 540 -> p + 4q ≤ 180
6p + 6q ≤ 540 -> p + q ≤ 90

Perlu diingat bahwa p dan q mewakili banyaknya barang, maka p dan q tidak mungkin bernilai negatif dan nilainya pun harus merupakan bilangan cacah. Sehingga, p dan q harus memenuhi pertidaksamaan di bawah ini:

p ≥ 0, q ≥ 0, dan p dan q ε C

Keuntungan bersih yang di dapat dalam Rupiah = 350p + 700q, dan diharapkan keuntungan bersih tersebut adalah sebesar-besarnya. Jadi model matematika yang dapat dibentuk berdasarkan persoalan di atas adalah:

p ≥ 0, q ≥ 0, p + 4q ≤ 180, dan p + q ≤ 90; p dan q ε C

Dengan bentuk (350p + 700q) sebesar-besarnya.



Contoh Soal 2:
Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran L dan M. bahan-bahan dasar yang terkandung dalam setiap Kilogram campuran L dan M dapat dilihat pada tabel berikut ini:



Bahan 1
Bahan 2
Campuran L
0,4 Kg
0,6 Kg
Campuran M
0,8 Kg
0,2 Kg

Dari campuran L dan M tersebut akan dibuat campuran N. Campuran N tersebut sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg dan bahan 2 sebanyak 3Kg. Harga setiap Kilogram campuran L adalah Rp. 30.000 dan setiap campuran M adalah Rp. 15.000.

Tentukanlah model matematika dari persamaan di atas jika biaya total untuk membuat campuran N diharapkan bisa semurah-murahnya.

Penyelesaian:
Misalkan campuran N dibuat dari x Kg campuran L dan y Kg campuran M,
Bahan 1 yang terkandung = 0,4x + 0,8y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

0,4x + 0,8y ≥ 4 Kg -> x + 2y ≥ 10

Bahan 2 yang terkandung = 0,6x + 0,2y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 2 sebanyak 3 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

0,6x + 0,2y ≥ 3 Kg -> 3x + y ≥ 15

Diketahui bahwa x dan y menyatakan jumlah berat campuran sehingga nilainya tidaklah mungkin negative dan harus dinyatakan dalam bentuk bilangan real. Maka dari itu, x dan y diharuskan memenuhi pertidak samaan di bawah ini:

x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y ε R

Total biaya yang diperlukan untuk membuat campuran N = 30000x + 15000y dengan biaya total yang diharapkan bisa semurah-murahnya. Maka model matematikanya adalah:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 10, dan 3x + y ≥ 15; x dan y ε R

Dengan bentuk (30000x + 15000y) sekecil-kecilnya.

Pengertian Program Linear dan Model Matematika SMA Kelas 11

Pengertian Program Linear dan Model Matematika SMA Kelas 11

Untuk postingan kali ini, materi yang akan dibahas oleh Matematika Dasar adalah mengenai Program Linear dan Model Matematika. Program linear atau biasa disenut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program yang bisa dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah optimasi linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa kita terjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi suatu system pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragami kemungkinan penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling baik (penyelesaian optimum). Jadi dapat disimpulkan bahwa tujuan dari masalah optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan) sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran, fungsi tujuan, atau fungsi objektif.

Pengertian Program Linear dan Model Matematika

Masalah optimasi linear seperti yang telah dijelaskan di atas banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang ekonomi, dan bidang-bidang lainnya yang termasuk ke dalam kajian riset operasional.

Pengertian Model Matematika

Sudah dijelaskan di atas bahwa dalam memecahkan masalah program linear kita harus bisa menerjemahkan terlebih dahulu mengenai kendala-kendala yang terdapat di dalam masalah program linear ke dalam bentuk perumusan matematika. Proses tersebut adalah yang dinamakan dengan model matematika. Model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program linear ke dalam Bahasa matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila di dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang diperlukan saja.

Untuk memahaminya dengan lebih mudah, perhatikan beberapa contoh pembuatan model matematika di bawah ini:

Contoh Soal Model Matematika dan Pembahasannya


Contoh 1 :
Mas Bejo membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku. Untuk itu Mas Bejo harus membayar Rp.6.900. Sedangkan Bang Jarwo hanya membeli 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil dengan harga Rp.1.050. apabila harga dari sebuah buku rupiah dan sebuah pensil dinyatakan dengan x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Mas Bejo, didapat hubungan:

6x + 8y = 6.900

Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Bang Jarwo, didapat hubungan:

x+ y = 1.050

Maka model matematikanya adalah:

 6x + 8y = 6.900 dan
   x +   y = 1.050 dengan x dan y ε C


Contoh 2:
Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a.) Jumlah nilai Matematika dan Fisika tidak boleh kurang dari 12
b.) Nilai masing-masing pada pelajaran tersebut tidak boleh kurang dari 5

Buatlah model matematika yang bisa digunakan sebagai patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA!

Jawab:
Kita misalkan nilai matematika = x dan nilai fisika = y , maka dari syarat a.) diperoleh hubungan:

x + y ≥ 12

Dan dari syarat b.) diperoleh hubungan:

x ≥ 5 dan y ≥ 5

maka, model matematika yang dapat digunakan untuk patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA adalah:

x ≥ 5 dan y ≥ 5, dan  x + y ≥ 12 ε C



Contoh 3:
Sebuah lahan parker hanya dapat menampung 200 mobil sedan. Apabila tempat tersebut digunakan untuk memarkir Bis, maka 1 Bis akan menempati luas yang sama dengan 5 buah mobil sedan. Apabila di lahan tersebut diparkir x Bis dan y Sedan, tentukanlah model matematikanya!

Jawab:
Misalkan untuk memarkir sebuah mobil sedan diperlukan luas rata-rata L m2, maka luas lahan parker yang tersedia adalah 200L m2(L > 0).

Untuk memarkir sebuah Bis diperlukan lahan seluas 5L m2 , Sehingga untuk memarkir x Bis dan y Sedan diperoleh hubungan:

(5L)x + (L)y ≤ 200
5x + y ≤ 200

Karena banyajnya mobil Bis dan Sedan tidak mungkin negatif, sehingga:

x ≥ 0 dan y ≥ 0

sehingga model matematika untuk persoalan di atas adalah:

x ≥ 0 , y ≥ 0 dan 5x + y ≤ 200, dengan x dan y