Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Sejarah Matematika Angka Nol

Sejarah Matematika Angka Nol

Artikel ini adalah lanjutan dari Sejarah Angka Nol (Part 1).
“Sebelum bapak menjawab pertanyaan mu, Tom, bapak akan lanjutkan dulu sejarah tentang Brahmagupta dan angka nolnya! Ok?” tanya Pak Zero pada siswa-siswinya, khususnya Tom yang sudah bertanya.
“Yaaaaaaaaa……….. bapak, enggak asyik, ah!!!!” spontan Jerry berteriak, karena sejak tadi sudah tak sabar menahan rasa ingin tahunya. Kontan, seisi kelas melirik padanya. Jerry hanya bisa cengar-cengir disaksikan kawan-kawannya.
“Konon, walau angka nol dilambangkan berupa titik, Brahmagupta sudah secara sistematis mengenal sifat-sifat operasi bilangan dengan angka nol, khususnya operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.” kata Pak Zero melanjutkan kisah sejarah angka nolnya.
Pak Zero sengaja diam sebentar, menunggu reaksi murid-muridnya, apakah mereka menyimak dengan baik atau hanya terbengong-bengong saja. Pak Zero berharap ada siswa atau siswinya yang menanyakan tentang operasi pembagian dengan nol. Tapi, harapannya tidak terwujud. Para siswanya tetap diam, menantikan kelanjutan kisah sang angka nol.
Pak Zero tidak kehilangan akal. Untuk menggali sifat kritis para siswanya, dia memancing dengan pertanyaan.
“Ok, di antara kalian, coba siapa yang paling mengerti tentang angka nol dan sifat operasi-operasi padanya?”


Sejenak seisi kelas diam.
Tiba-tiba, Jerry kembali membuat ulah. “Pak, setahu saya, sejak SD dulu, si Udin tuh yang paling akrab dengan nol!”
“Maksud mu bagaimana Jerr?” tanya Pak Zero dengan tampak sabar, karena sebetulnya menahan rasa kesal.
“Maksudnya, setahu saya, si Udin sering sekali dapat nol dalam pelajaran matematika, Pak!!!
“Ha ha ha ha ha….” tanpa dikomando, hampir seisi kelas, kecuali Udin, tertawa mendengarnya. Untungnya, Udin tidak mudah sakit hati sebab sudah tahu sifat Jerry yang memang suka meledek dan bercanda sejak SD dulu. Jadi, Udin senyam-senyum saja, santai, sambil menunggu kesempatan membalasnya.:)
“Sudah-sudah! Jangan suka ngeledek! Yuk, kita lanjutkan ceritanya!” Pak Zero menengahi keadaan.
***
“Pak, apakah maksud dari sifat operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan nol itu?” tanya Rahma, siswi yang duduk paling depan, tepat di depan meja Pak Zero. Pak Zero yang semula akan melanjutkan kisah angka nol, mengurungkan sementara.
“Menurut mu bagaimana?” Pak Zero balik bertanya. Rahma tersenyum, berpikir, lalu mencoba mengungkapkan pendapatnya.
“Yang saya tahu sih, kalau bilangan ditambah atau dikurangi dengan nol, ya hasilnya bilangan itu sendiri!” jawab Rahma dengan penuh percaya diri.
“Bisa memberi contohnya?” lagi-lagi Pak Zero bertanya pada muridnya itu.
“Pak, saya bisa memberi contoh!” jawab Udin tanpa diminta. Sementara Rahma yang semula akan memberi contoh, tidak jadi mengungkapkan pendapatnya.
‘Misalnya begini, Pak. 4 + 0 = 4, 4 – 0 = 4, dan ini berlaku bagi bilangan lainnya, termasuk nol itu sendiri!” lanjut Udin memberi penjelasan.
Pak Zero: “Ok, bagus Din! Selanjutnya, bagaimana tentang perkalian dengan nol?”
“Itu sih, gampang, Pak. Kalau kita mempunyai sebuah bilangan, lalu dikali dengan nol, maka hasilnya, pasti nol! Contohnya, 4 x 0 = 0, 10 x 0 = 0, dan seterusnya!” jawab Dirman, mendahului Jerry yang sedari tadi ingin berpendapat.
Pak Zero: “Bagus Dirman!”
Sementara itu, sejak tadi Tom berpikir tentang pembagian angka nol. Dia mengalami kesulitan yang tak terpikirkan sebelumnya.
“Pak, kalau pembagian dengan nol bagaimana? Dari tadi, saya memikirkan, misalnya 4 : 0, lalu 0 : 4, tapi saya kesulitan menemukan jawabannya, Pak! kata Tom berpendapat, tepat sebelum Pak Zero menanyakan hal itu kepada siswa-siswi lainnya.
Pak Zero: “Ayo, siapa yang bisa jawab pertanyaan Tom?”
Kali ini, kelas terdiam sediam-diamnya. Tampak seluruh siswa berpikir, mencoba mencari tahu jawab pertanyaan Tom. Bahkan, Jerry yang biasanya berulah, kini memainkan pensilnya di atas kertas, mengutak-atik pembagian dengan nol.
Sementara itu, Pak Zero sabar menunggu reaksi siswa-siswinya sambil menandai daftar hadir dengan tanda ceklist, yang sedari tadi lupa dilakukan saat mengecek kehadiran siswa-siswinya.
Sepuluh menit waktu berlalu, belum juga ada reaksi dari Tom dan teman-temannya.
Pak Zero: “Ok, sudah 10 menit bapak menunggu. Tapi, belum ada jawaban dari kalian! Karena itu, pertanyaan Tom bapak jadikan PR buat kalian!”
“Yaaaaaaaaa, bapak!” serempak, kelas bergema, menandakan kekecewaan.
Pak Zero sengaja melakukan hal itu, agar siswa-siswinya sendiri yang menemukan jawaban atas rasa keingintahuan mereka. Sebuah proses pembelajaran yang konstruktif. Ini sesuai teori pembelajaran yang pernah dipelajari Pak Zero, di Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia (dahulu bernama IKIP Bandung), yakni teori konstruktivisme dalam pembelajaran.
Pak Zero: “Ok, ok, kalian jangan kecewa! Kalau kalian merasa sulit, itu biasa, tidak masalah. Bahkan Brahmagupta sendiri, sang matematikawan India itu, sungguh mengalami kesulitan tentang operasi pembagian dengan nol. Hingga akhir hayatnya, dia tak mampu menemukan jawab masalah ini! Karena itu, bila kalian dapat memecahkan masalah pembagian dengan nol, berarti kalian hebat!”
Demikian kata Pak Zero, menyemangati siswa-siswinya, agar tidak kecewa.
“Kalau begitu, apakah sampai saat ini masalah pembagian dengan nol belum terpecahkan, Pak?” kembali Tom bertanya.
Pak Zero: “Tentu sudah, Tom! Karena itu, pertanyaanmu bapak jadikan PR. Tugas kamu dan kawan-kawan adalah mencari tahu jawabnya. Entah di perpustakaan, atau di mana saja!”
“Pak, yang berhasil memecahkan masalah pembagian dengan nol, siapa Pak? Apakah orang biasa atau matematikawan juga?” tanya Rahma, yang juga penasaran ingin tahu.
Pak Zero: “Tentang masalah pembagian dengan nol, baru terpecahkan sekitar 10 abad setelah masa Brahmagupta. Adalah Newton dan Leibniz yang membahas masalah itu dan berhasil memecahkannya.” Demikian kata Pak Zero, sambil menuliskan kedua tokoh yang baru saja disebutnya di papan tulis: NEWTON & LEIBNIZ, abad 17.
“Pak, NEWTON itu siapa?” tanya Udin, yang terdengar lucu sebab menyebut Newton sesuai apa yang tertulis, bukan seperti cara baca yang dicontohkan Pak Zero (yaitu “nyu ton”). :D
“Udah dong Din, jangan bertanya-tanya hal lain dulu. Sejak tadi kan, kita ingin tahu sifat pembagian dengan nol. Lalu, sebelumnya kita juga belum tahu, siapa matematikawan yang pertama kali menggunakan lambang nol seperti yang kita gunakan sekarang!” sewot Jerry, yang rupanya makin penasaran karena makin banyak hal yang belum terceritakan oleh Pak Zero.
Pak Zero: “Ok, ok, akan bapak ceritakan lanjutan kisahnya. Ayo, dengarkan bapak baik-baik!”
Baru saja kelas mulai tenang dan para siswa siap-siap mendengar lanjutan kisah angka nol dari Pak Zero, tiba-tiba lonceng berbunyi dua kali, menandakan waktu pelajaran matematika hari itu telah habis.
‘Baiklah anak-anak sekalian, berhubung waktu habis, dongeng angka nolnya bapak lanjutkan pertemuan berikutnya ya….”
***
Catatan: Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Selamat menantikan kisah selanjutnya! :D Dan, selamat menunaikan berbagai ibadah di bulan Ramadhan yang mulia ini.
Sejarah Matematika Tentang Angka Nol

Sejarah Matematika Tentang Angka Nol

Waktu itu adalah hari Senin. Hari pertama Tom dan kawan-kawan masuk sekolah. Hari pertama belajar di SMP Pembangunan, satu-satunya SMP di pinggiran suatu kecamatan di ujung barat pulau Jawa.
Menurut jadwal yang sudah ditetapkan, dan sudah dicatat oleh Tom saat masa orientasi siswa (MOS), pelajaran pertama hari Senin adalah matematika. Satu pelajaran yang disukainya sejak SD dulu.
***
Lonceng sekolah berbunyi empat kali. Menandakan jam masuk sekolah dan pelajaran pertama akan segera dimulai. Para siswa segera masuk kelas, duduk dengan rapi, menunggu guru matematika mereka.
Saat menunggu, Tom membayangkan guru matematika yang akan masuk adalah seorang yang guru yang sudah tua dan ditakuti siswa-siswinya. Tom pernah mendengar dari kakak-kakak kelasnya bahwa guru-guru matematika di SMP Pembangunan terkenal sangat galak, ditakuti, dan tidak disukai siswa-siswinya.
Tiba-tiba lamunan Tom terpecah karena mendengar ucapan salam dari sang guru matematika. Ternyata, yang dibayangkan Tom salah. Guru matematikanya ternyata masih muda, dan sepertinya adalah guru baru di SMP Pembangunan. Setelah berdo’a dan lain sebagainya, tiba giliran sang guru mengenalkan diri sebelum memulai pelajaran.
“Anak-anak sekalian, sebelum kita mulai pelajaran, bapak akan perkenalkan diri bapak dulu, lalu bapak pun ingin mengenal satu-persatu kalian! Nama bapak adalah Al Zero. Orang-orang biasa memanggil Zero, tapi ada juga yang memanggil Al. Kalau ada yang mau kalian tanyakan, bapak persilakan!”
Demikian Pak Zero memperkenalkan diri.
Sambil menunggu pertanyaan, Pak Zero berusaha mengenali siswa-siswinya, dengan memanggil satu persatu nama mereka dari daftar hadir yang beliau bawa.
Kelas masih diam, siswa-siswi Pak Zero rupanya masih enggan bertanya. Baru saja Pak Zero akan bicara, tiba-tiba muncul pertanyaan.
“Pak, kenapa nama bapak Al Zero? Apa artinya?”


Ya, itulah pertanyaan singkat yang diajukan Udin, kawan sebangku Tom. Pak Zero tidak langsung menjawab, sedikit tersenyum dan sepertinya berpikir untuk menjawabnya.
“Ok, terima kasih, pertanyaan yang bagus, Din! Mm…kalian, selain Udin, mau tahu juga?
Serentak, semua siswa Pak Zero mengatakan, “Mauuuuuuuu…”. Mulai saat itu, terjadilah proses pembelajaran matematika melalui tanya jawab seperti berikut ini.
Pak Zero: “Mmm…Zero adalah satu kata yang berasal dari bahasa Inggris. Mm… kalian sudah pernah belajar bahasa Inggris, kan?”
Tak ada siswa yang mengaku, kelas kembali terdiam. Semua siswa diam. Terdiamnya mereka karena memang tak ada satu pun di antara mereka yang pernah belajar bahasa Inggris. Sungguh berbeda nasib mereka dengan siswa-siswa yang ada di kota yang sejak SD sudah pernah belajar bahasa Inggris, baik melalui kursus atau dari sekolah.
Pak Zero baru sadar bahwa yang dihadapinya adalah siswa-siswi SMP, yang sewaktu SD belum pernah mempelajari bahasa asing, termasuk bahasa Inggris.
Pak Zero: “Ok, jadi, zero itu artinya nol! Ya, nol!
“Lalu, kenapa bapak dinamai Zero alias Nol?” tanya Dirman dengan rasa ingin tahu yang tinggi!
Pak Zero: “Orang tua bapak seorang pedagang yang cukup gemar membaca, khususnya tentang sejarah matematika. Saat ada dalam kandungan, orang tua bapak ingin sekali menamai anaknya dengan nama yang berasal dari istilah matematika.”
Para siswa menyimak dengan baik apa yang diceritakan Pak Zero.
Pak Zero: “Dari sekian banyak istilah matematika yang diketahui orang tua bapak, hampir semuanya tidak cocok untuk dijadikan nama. Mereka terus berpikir dan mencari, hingga, entah dengan sebab apa, orang tua bapak menamai bapak dengan Al Zero. Katanya sih, terinspirasi dari nama penyanyi terkenal, tapi nama itu erat kaitannya pula dengan sejarah matematika, khususnya tentang angka nol!”
“Kalau begitu, bapak tahu dong sejarah angka nol?” tanya Tom, tiba-tiba berani mengungkapkan rasa ingin tahunya.
“Iya, Pak, ceritakan tentang angka nol pada kami!” pinta Jerry, seorang siswa yang duduk di pojok kanan belakang kelas.
Pak Zero: “Ok, akan bapak ceritakan! Sekalian ini anggap saja sebagai pembuka topik yang akan kita pelajari nanti. Cerita ini cocok dengan pelajaran yang akan kita pelajari, yaitu tentang bilangan bulat!
“Horee… pelajaran matematikanya lewat dongeng!” kata Udin dalam hati. Udin pantas bergembira, sebab sejak SD dia memang kurang menyukai matematika, seringnya takut belajar satu pelajaran ini.
Pak Zero pun memulai ceritanya, tentang nol. Ya, tentang satu kata yang nyantel di namanya. Beginilah ceritanya.
“Konon, dibandingkan angka-angka yang lain, nol merupakan angka yang relative baru ditemukan! Menurut para ahli sejarah matematika, gagasan tentang nol pertama kali ditemukan di catatan Brahmagupta pada abad 7 Masehi.”
Udin: “Pak, Brahmagupta itu siapa?”
Pak Zero: “Brahmagupta adalah salah seorang matematikawan yang berasal dari negeri India. Ya negerinya tuan Takur, yang terkenal dalam film-film India itu!”
“Ha ha ha…” hampir semua siswa tertawa mendengar cerita Pak Zero, karena menyebut satu tokoh terkenal (bengis) dalam film India.
“Konon, di catatan Brahmagupta, angka nol dilambangkan tidak seperti sekarang. Lambangnya waktu itu baru berupa titik. Bukan bundaran seperti sekarang!”
“Berarti, bukan Brahmagupta dong yang menemukan angka nol? Lalu siapa, Pak, yang pertama kali menggunakan lambang 0 seperti sekarang?” tanya Tom dengan sangat kritis. Pertanyaan yang tak terduga, mengagetkan Pak Zero.
Apa tanggapan Pak Zero terhadap pertanyaan, Tom? Tunggu artikel selanjutnya. Sabar ya… :)
Rahasia Rumus Cepat Matematika

Rahasia Rumus Cepat Matematika

Dulu, ketika saya masih baru menjadi mahasiswa baru tingkat pertama, saya berkenalan dengan salah seorang mahasiswa baru lainnya yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia pun akhirnya bercerita bahwaa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.
Mendengar ceritanya tersebut, saya pun terkagum-kagum dibuatnya. Dalam pikiran saya, saya berkesimpulan “Wah ia pasti orang yang sangat pandai”. Rasa kagum saya mendorong rasa ingin tahu saya tentang pengetahuannya dalam matematika. Akhirnya, dalam masa awal perkenalan itu, saya ajak ia ngobrol tentang matematika yang sudah pernah kami pelajari ketika semasa SD sampai SMA dulu.
Dari obrolan tersebut, saya jadi tahu, ternyata ia benar-benar luas pengetahuan tentang matematika yang sudah dipelajarinya. Hingga akhirnya, mungkin untuk menunjukkan kepiawaiannya, ia mengajak saya adu cepat mengerjakan soal matematika.
Mendapat tantangan itu, sebenernya saya ngeper juga. Karena saya merasa tak sepandai dirinya. Namun, karena ini namanya juga bukan lomba dan bukan apa-apa, saya sih mau saja waktu itu. Soal-soal pun dipilih secara acak dari buku kumpulan soal-soal latihan tes UMPTN* dan EBTANAS** beberapa tahun sebelumnya yang masih rajin ia bawa ke mana-mana. Kemudian, adu cepat menyelesaikan soal matematika pun dimulai.
Bagaimana hasilnya? Siapa yang tercepat?


Ternyata benar, dalam beberapa menit saja, teman saya itu berhasil menyelesaikan semua soal yang sudah dipilih tadi (karena yang dipilih cuma 3 soal sih). Dan ia keluar sebagai yang tercepat, menjadi pemenang. Sedangkan saya, satu soal pun belum mampu saya selesaikan. Waktu itu, saya terlalu berkutat dengan soal nomor pertama yang lumayan sukar untuk ukuran saya waktu itu. Walau sudah dengan segenap kemampuan saya berusaha menyelesaikannya, tapi ternyata, sampai waktu habis belum ketemu juga. Saya pun mengakui kelebihan dan kehebatannya.
Dengan sedikit malu-malu, saya bertanya padanya tentang soal yang belum bisa saya selesaikan tersebut. Sambil saya tanyakan pula kenapa ia begitu cepat bisa menyelesaikan soal-soal tersebut. Soal yang waktu itu belum bisa saya selesaikan adalah seperti berikut ini.

Soal: Bila a + 1/a = 5, maka nilai dari a3 + 1/a3 =…

Dengan cepat teman saya itu pun menyelesaikan soal tersebut seperti berikut ini:

a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 – 3a.1/a(a + 1/a) = 53 – 3(5) = 125 – 15 = 110.

Melihat cara penyelesaiannya, saya hanya bisa melongo waktu itu. “Cuma satu baris? Padahal saya mencoba menyelesaikannya berbaris-baris, dan belum ketemu juga”, itu yang ada di pikiran saya. Kemudian, saya pun bertanya ke teman saya itu, kenapa cara pengerjaannya seperti itu?
Dengan senang hati, ia pun menjelaskan ke saya. Ia katakan bahwa, soal semacam tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan rumus “cepat” berikut ini.

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) ………………………………..(1)

Dengan mengganti b dengan 1/a, katanya, maka soal tadi dapat diselesaikan dengan cepat seperti yang sudah dikerjakannya tadi.
Saya yang tak terbiasa menggunakan rumus “cepat” ketika di SMA dulu, penasaran ingin tahu alasan kenapa rumus “cepat” tersebut bisa dipakai. Tapi sayang, teman saya itu tak memberi tahu saya. Malahan ia menambah lagi rumus cepat yang sudah ia ketahuinya, yaitu:

a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)……………………………….(2)

Akhirnya, ngobrol-ngobrol pun beres. Ia bergegas pulang menuju kost-kost-annya. Saya pun begitu, pulang dengan rasa penasaran yang mengganjal.
Di kost-kost-an, dengan penuh rasa penasaran ingin tahu, saya pun mengutak-atik rumus “cepat” yang telah ia gunakan tersebut. Setelah beberapa waktu lamanya, akhirnya, terpecahkan juga rahasia rumus “cepat” yang dipakai teman saya tersebut. Saya berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” tersebut, berhasil menguak rahasianya. (Duh rasanya begitu senang sekali, tak bisa saya ekspresikan dengan kata-kata).
Hasil penelusuran saya tersebut, setelah saya rapikan, seperti berikut ini.

(a + b)3 = (a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2)( a + b)
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3
= a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
Jadi, (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b).

Sehingga, a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b). Rumus “cepat” (1) dapat saya buktikan kebenarannya. Kemudian, dengan cara serupa, saya pun berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” (2).

Walaupun apa yang telah saya lakukan tersebut sederhana, tapi bagi ukuran saya waktu itu adalah sesuatu yang menggembirakan hati, menyenangkan pikiran, dan memuaskan dahaga keingin-tahuan saya.
Sejak saat itu, bila ada rumus-rumus “cepat” yang saya temui di buku-buku bimbingan tes, saya pun terpacu untuk menelusuri asal-muasalnya. Dengan cara seperti itu, saya seringkali berhasil memecahkan rahasia rumus-rumus “cepat” yang selama ini beredar luas di kalangan siswa yang mengikuti bimbingan test.
Baiklah, segitu dulu saja ceritanya ya…, lain kali insya Allah saya akan membahas baik-buruknya penggunaan rumus “cepat” (Ada satu cerita yang sangat menggelikan tentang hal ini. Mau tahu? Silakan tunggu di postingan mendatang…). Sampai di sini dulu ya…, mudah-mudahan bermanfaat.
Sebagai bahan latihan untuk Anda, cobalah telusuri asal-muasal rumus-rumus “cepat” berikut ini.
  1. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
  2. Perhatikan gambar berikut. Panjang PQ dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:
    PQ = (AP. DC + DP. AB)/(AD)


Statistika Matematika Cara Menyajikan Data Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi

Statistika Matematika Cara Menyajikan Data Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi

Selain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.
1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut.
5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 6
8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6


2. Distribusi Frekuensi Bergolong
Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi bergolong dengan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67.
b. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelas yang mana.
c. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi.
d. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah

3. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

4. Histogram
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan sebagai berikut.

5. Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

6. Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.


b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5) diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.
Statistika Matematika Cara Menyajikan Data Dalam Bentuk Diagram

Statistika Matematika Cara Menyajikan Data Dalam Bentuk Diagram

Statistika Matematika Cara Menyajikan Data Dalam Bentuk Diagram
1. Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.


2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.


3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal

4. Diagram Batang Daun
Diagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.
Contoh soal
Buatlah diagram batang-daun dari data berikut.
45 10 20 31 48 20 29 27 11 8
25 21 42 24 22 36 33 22 23 13
34 29 25 39 32 38 50 5

5. Diagram Kotak Garis
Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar), Q1, Q2, dan Q3.

Belajar Lebih Matntap Tentang Logaritma Matematika

Belajar Lebih Matntap Tentang Logaritma Matematika

Belajar Lebih Matntap Tentang Logaritma Matematika
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
Dasar Logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.


Rumus Logaritma:
Rumus Logaritma
Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
  • Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7. 
  • Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
  • Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
  • Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:
Sifat Logaritma
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Contoh Soal Dan Pembahasan Persamaan Kuadrat Sederhana Matematika

Contoh Soal Dan Pembahasan Persamaan Kuadrat Sederhana Matematika

Contoh Soal Dan Pembahasan Persamaan Kuadrat Sederhana Matematika
Dalam pemecahan soal persamaan kuadrat atau dikenal dengan PK, dapat dikerjakan dengan cara pemfaktoran seperti contoh soal berikut:

Contoh Soal Pertama

x ( x + 1 ) = x ( 2x - 3)
x2 + x = 2x2 - 3x
x2 - 4x = 0 
x ( x - 4 ) = 0
x = 0 atau x = 4

Pada contoh penyelesaian diatas dijelaskan bahwa x ditunkan terlebih dahulu, sehingga membentuk x kuadrat atau x2 dan berpindah ruas. Catatan 2 sama dengan kuadrat.

Contoh Soal Kedua

( x2 + 2 ) ( x + 2 ) = ( x2 + 2 ) ( 2x - 1 )
( x + 2 ) = ( 2x - 1 )
x = 3

Pada kasus penyelesaian diatas digunakan cara eliminasi, yaitu menghilangkan faktor yang sama seperti x2 + 2 pada ruas kiri dan x2 + 2 pada ruas kanan yang dihilangkan karena bersifat positif. Sehingga hasil penurunanya adalah ( x + 2 ) = ( 2x - 1) sehingga x bernilai 3.
Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Bangun Ruang Limas 


Rumus Limas Segi Tiga 

Limas Segi tiga V = 1/3 x {1/2 x Panjang x Lebar } x Tinggi

Bangun Ruang
Nama : Limas Segi Tiga
Luas : L = jumlah luas keempat sisinya
Volume : V = 1/3 x {1/2 x Panjang x Lebar } x Tinggi
Jumlah Sisi : 4
Jumlah RusuK : 6
Titik Sudut : 4


Rumus Limas Segi Empat

Limas Segi empat V = 1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi

Bangun Ruang

Nama : Limas Segi Empat
Luas : jumlah luas keempat sisinya
Volume : 1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi
Jumlah Sisi : 5
Jumlah RusuK : 8
Titik Sudut : 5






Latihan Soal Limas




Perhatikan gambar disamping !
Alas sebuah limas berbentuk persegi yang panjangnya 10 cm dan tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm.
Hitunglah tinggi limas dan luas limas!

 NB: Cobalah terlebih dahulu sebelum melihat jawabnya.





JAWAB:
   Tinggi limas = 13
                                 
    Luas limas    = s2 + 2at
                          = 102  + 2.10.13
                          = 100 + 260 
                          = 360 cm2
 
    Jadi, luas limas adalah 360 cm2

Teory Himpunan

Teory Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita sudah mengenal tentang himpunan. Contoh: sekelompok burung dan sekumpulan ikan . masing-masing kata “kelompok” dan “kumpulan” dapat diganti denagn kata “himpunan”.
Pada saat ini kita akan membahas tentang himpunan untuk siswa SMP. Materi yang akan kita pelajari adalah pengertian dan notasi himpunan, himpunan bagian, dan diagram venn

Pengertian dan Notasi Himpunan

Sebelum kita membahas lebih lanjut tentang himpunan, ada baiknya bila kita memahami dulu pengertian dan notasi himpunan.
#Apakah arti himpunan itu ?#
Perhtikan dua kumpulan berikut !
1. Kumpulan wanita cantik
2. Kumpulan pisang, anggur, strawberry
Pada bagian (1) pengertian cantik itu relative untuk setiap orang. Sehingga kita bisa katakan pada bagian (1) bukan merupakan himpunan karena anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Sedangkan kumpulan pada benda atau objek pada bagian (2) dapat didefinisikan sebagai kumpulan buah. Kumpulan demikian disebut himpunan karena anggotanya dapat ditetapkan dengan jelas. Dengan demikian , sekarang kita mengetahui apa arti himpunan itu sendiri. Himpunan adalah kumpulan benda / objek yang didefinisikan dengan jelas.
Contoh :
A = {binatang berkaki 4}
B = {alat-alat tulis}
C = {mata pelajaran di SMP}

Menyatakan Suatu Himpunan

Berikut beberapa cara menyatakan suatu himpunan.
Dengan menyebutkan syarat-syarat keanggotaan
Contoh :
P = {bilangan asli antara 4 dan 10}
Q = {bilangan genap yang kurang dari 15}
Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya
Anggota himpunan dituliskan didalam kurung kurawal, antara anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan menggunakan tanda koma.
Contoh :
Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.
A = {gajah,jerapah,macan,zebra}
B = {pensil,penggaris,penghapus,jangka}
Dengan notasi pembentuk himpunan.
Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.
Contoh : a,b,c,d,…,z
Menuliskan syarat anggotanya di belakang tanda “|’.
Contoh : {x|x<5 asli="" bilangan="" br="" x=""> Dibaca : himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5 dan x bilangan asli.
Dengan diagram venn
Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram.
Contoh :


Gambar diatas adalah diagram venn. A = {1,2,3,4,5}

Anggota himpunan
1. Menyatakan anggota suatu himpunan
Setiap benda (objek) yang terdapat didalam himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu. Untuk menuliskan anggota himpunan, dipakai notasi “∈” dan untuk menuliskan bukan anggota, dipakai notasi


Contoh
Bila A = {2,3,5,7} maka :
2 termuat di A,berarti 2 anggota A dan ditulis 2 ∈ A
4 tidak termuat di A, berarti 4 bukan anggota A dan ditulis 4 ∈ A
2. Menyatakan banyaknya anggota suatu bilangan
Untuk menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan A,digunakan lambang n(A).
Contoh Soal :
Tentukan banyaknya anggota dari himpunan-himpunan berikut !
A = {kuda,kerbau,sapi,kambing}
B = {sapu,cangkul,palu,ember,keranjang}
C = {segitiga,persegi,persegi panjang}
Jawab :
Banyaknya anggota A = 4, ditulis n(A) = 4
Banyaknya anggota B = 5, ditulis n(B) = 5
Banyaknya anggota C = 3, ditulis n(C) = 3

Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”
Contoh : A = {1,2,3,4,5,…}
2. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”
Contoh : C = {0,1,2,3,4,…}
3. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”
Contoh : P = {2,3,5,7,11…}
4. Himpunan bilangan genap
Himpunan bilangan genap dilambangkan dengan huruf “G”
Contoh : G = {2,4,6,8,10,…}
5. Himpunan bilangan ganjil
Himpunan bilangan ganjil dilambangkan denganhuruf “J”
Contoh : G = {1,3,5,7,9,…}
6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)
Himpunan bilangan komposit dilambangkan dengan huruf “T”
Contoh : T = {4,6,8,9,10,12,…}

Jenis-jenis Himpunan

^ Himpunan tak berhingga
Contoh :
A = {1,3,5,7,…} ; n(A) tak berhingga, atau n(A) = ∞
A disebut himpunan tak berhingga
^ Himpunan berhingga
Contoh :
B = {1,3,5,7,9} ; n(B) = 5
B disebut himpunan berhingga
^ Himpunan kosong
C = {bilangan prima antara 7 dan 9}
Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0
C disebut himpunan kosong.

Diagram Venn

Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang ahli matematika dari Inggris (1834 - 1923), memperkenalkan cara menyatakan himpunan dengan diagram.
Diagram tersebut dinamakan diagram Venn.
Menyatakan diagram Venn
(i) Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.
(ii) Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) di dalam kurva.
(iii) Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.
Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Konsep himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan menggunakan himpunan. 

A.  Pengertian Himpunan dan Notasi Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan.

B.  Penulisan Himpunan
  • Cara mendaftar/tabular form
yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form
yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.
Contoh:


C.  Jenis-Jenis Himpunan
  • Himpunan Kosong
Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan   atau {}.

Contoh:




  • Himpunan Universal (Semesta)
Himpunan universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi 
Contoh:



  • Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan Bagian (Subset) dilambangkan dengan   jika dan hanya jika
Contoh: A  B
1)   Finit (berhingga) 
2)   Infinit (tak berhingga) 

  • Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A).
Contoh: A = {1, 2, 3}

D.  Operasi-Operasi Pada Himpunan
  •  Gabungan (Union)
Untuk , gabungan (union) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen dari A atau B.
Jadi,
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • Irisan (Intersection)
Untuk irisan (intersection) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk di A dan B.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}
  • Saling Asing (Disjoint)
Misalkan
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {6, 7, 8, 9}
Secara umum, jika A1, A2, A3, …, An adalah subhimpunan U, maka dapat dinotasikan dan dapat dinotasikan .
  • Selisih (Difference)
Untuk , selisih (difference) dari B dan A dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A tetapi tidak di B. Untuk
Jadi, .
Diagram venn untuk da:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3}
= {5, 6}
  • Komplemen (Complement)
Untuk , komplemen (complement) dari A dilambangkan dengan atau Ac atau A adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di U dan tidak di A.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
  = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
  • Selisih Simetrik (Symmetric Difference)
Untuk , selisih simetrik (symmetric difference) A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A atau di B tetapi tidak dalam keduanya.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
 = {1, 2, 3} {5, 6}
 = {1, 2, 3, 5, 6}

E.   Sifat-Sifat Operasi Himpunan
  •  Hukum Komutatif





  •  Hukum Asosiatif



  •  Hukum Distributif





  •  Hukum Idempoten





  •  Hukum Komplemen




  •  Hukum De Morgan




  •  Sifat Himpunan Universal





  •  Sifat Himpunan Kosong





  •  Hukum Identitas





  •  Hukum Invers





  •  Hukum Dominasi





  •  Hukum Absorpsi




F.   Relasi dan Fungsi
  •  Pengertian dan Hasil Kali Fungsi
1)   Definisi Fungsi

Contoh:
a)    A = {a, b, c}
B = {p, q}
f : ?
b)   P = {k, l}
Q = {m, n}
f : ?
Note:
Bukan fungsi karena ada 1 elemen pada domain yang berpasangan.
Fungsi onto range = kodomain
2)   Hasil Kali Fungsi
Definisi:





Contoh:
  •  Fungsi Invers dan Grafik Invers
1)   Fungsi Invers
Misal suatu fungsi , maka invers dari b dinyatakan dengan
f-1(b) yaitu:
terdiri dari elemen-elemen A yang dipetakan pada b.
Contoh 1:
Misal f : didefinisikan dengan diagram sebagai berikut:
Maka f-1(p) = {l} karena l dipetakan ke p, f-1(q) = {k, m} karena k dan m dipetakan ke q, dan f-1(r) = {n} karena n dipetakan ke r.
Contoh 2:
Misal g : didefinisikan oleh
Maka g-1(2) = {-2, 2} karena bayangan dari 2 adalah -2 dan 2, yaitu nilai mutlak dari -2 dan 2 adalah 2.
Sekarang kita perhatikan kembali fungsi maka
 

Contoh 3:
Misal didefinisikan seperti pada contoh 1, jika D = {p, q} maka f-1(D) = {k, l, m}, karena yang dipetakan ke p atau q adalah k, l, dan m.
Misal  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap ,
f-1(b) mempunyai satu elemen tunggal dalam A.
Oleh karena itu, ada suatu aturan yang memasangkan setiap  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : .
Contoh 4:
Misal didefinisikan oleh diagram berikut:
Karena adalah fungsi satu-satu dan onto maka f-1 dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : ada, yaitu seperti diagram berikut:
Contoh 5:
Misal didefinisikan oleh g(x) = x2 maka g-1 tidak ada karena g bukan fungsi satu-satu.
Teorema Fungsi Invers:
Misal adalah satu-satu dan pada (onto) sehingga f-1 ada, maka:
a)    adalah fungsi satuan pada A.
b)   adalah fungsi satuan pada B.
Contoh I:
Misal dan f-1
Contoh II:
Misal . Tentukan f-1(x) dan ?
Jawab:
2)   Grafik Fungsi
Misal suatu fungsi . Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut yang mana muncul sebagai elemen pertama dan bayangannya sebagai elemen kedua, dinyatakan sebagai:
perlu diperhatikan bahwa yaitu grafik fungsi f merupakan subset dari
A x B.
Contoh 6:
didefinisikan seperti pada contoh 1, maka diperoleh f(k) = q, f(l) = p, f(m) = q, dan f(n) = r, sehingga: f* = {(k, q), (l, p), (m, q), (n, r)}
Contoh 7:
Misal A = {1, 2, 3}, didefinisikan sebagai f(x) = 2x -1 maka diperoleh: g(1) = 1, g(2) = 3, dan g(3) = 5 sehingga: g* = {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}
Contoh 8:
Misal (R adalah himpunan bilangan real) didefinisikan sebagai h(x) = x2 + 1 maka diperoleh: h(0) = 1, h(-1) = 2, h(1) = 2, … sehingga h* = {…, (-1,2), (0,1), (1,2), …}.
Selanjutnya grafik dari fungsi pada contoh di atas, yaitu f*, g*, dan h* dapat digambarkan pada diagram koordinat Cartesius (bidang Cartesius) secara berturut-turut sebagai berikut:
Grafik suatu fungsi pada diagram koordinat Cartesius apabila diperhatikan mempunyai dua sifat sebagai berikut:
a)    Untuk setiap   maka ada satu pasangan terurut .
b)   Jika dan maka b = c.