Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Apa sih Aljabar Itu?
Anggapan bahwa aljabar matematika adalah sesuatu yang menyeramkan tidak pasti benar. Sobat mungkin hanya salah persepsi atau terpengaruh anggapan banyak orang. Selain itu mungkin hanya karena sobat saking takutnya, kemudian berimbas pada ulangan matematika yang jelek dan aljabar dijadikan kambing hitam. Kita semena-mena menyebutnya susah dan mengerikan.
Aljabar secara sederhana bisa disebut operasi matematika (penjumlahan, pengurang, dan temen-temennya) yang melibatkan variabel yang nampak berupa symbol-symbol dan angka. Adakah sobat hitung yang tahu dari mana asal kata aljabar? Aljabar berasal dari kata Al-Jebr atau oleh bangsa eropa sering ditulis algebra. Al-jebr adalah sebuah buku yang ditulis oleh seorang muslim bernama Al-Khawarizmi, ahli matematika asal pesia yang karyanya telah dijadikan dasar matematika modern.

Rumus Cepat Aljabar, perlukah?

Sebenarnya agar cepat mengerjakan soal aljabar tidak harus dengan rumus cepat aljabar. Jika kita belajar hanya dengan menghafal berbagai rumus tapi tidak paham makna dan mengerti maksudnya pasti akan cepat lupa. Cobalah memahami dasarnya dan berpikir secara logis dan tentunya ditambah banyak latihan. Aljabar adalah dasar dan ia bakal dipakai dalam banyak perhitungan matematika. Contoh sederhananya
Ketika ada persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Prinsipnya berpikirlah sederhana dan logis.
Contoh:
X + 7 = 10, berapa nilai x
X + 7 -7 = 10 – 7 (masing-masing ruas kurangi dengan 7)
X = 3
Jika ada soal 1252 -1242 = …
Akan sangat lama jika harus mennghitung kuadrat dari 125 dan kuadrat 124 kemudia baru kita kurangkan. Kadang sobat harus berpikir simple bahwa kita tahu a2 -b2 = (a+b) (a-b) = (125+124) (125-124) = 249 x 1 = 249 kalau tidak percaya silahkan sobat hitung pakai kalkulator. Contoh lain
99^2 – 98^2 = ???
= …. = 197 (Selesai.)
Caranya:
99^2 – 98^2 = (99+98).(99-98) = 197
Rumus cepat aljabar di atas juga bisa dipakai untuk case yang berbeda seperti tampak di bawahh ini
berapa hasil 102 x 98 = ???= (100 + 2)(100 – 2)
= 100^2 – 2^2
= 10.000 – 4 = 9.996 (tidak susah kan sobat).
Tips Mudah Menghitung Presentase

Tips Mudah Menghitung Presentase


persen artinya sendiri adalah perseratus dan persentase sendiri merupakan nilai suatu perbandingan jika dijadikan dalam skala seratus atau lebih gampangnya nilai perbandingan (pecahan) jika penyebutnya dijadikan seratus.
cara menghitung persentaseContoh misalnya saya punya 4 buah kelereng dan 3 diantaranya berwarna putih. Jika saya ditanya berapa presentase kelereng putih maka cara menghitung presentasenya
3/4 x 100 % = 75 %
Coba sobat lihat angka 100% sebenarnya bernilai satu, 100 persen = 100/100. Jadi perubahan ke bentuk presentase sekali lagi hanya merubah bentuk tanpa merubah nilai. Karena suatu nilai atau bilangan yang dikali satu sejatinya tidak pernah berubah.
Jadi dapat disimpulkan cara menghitung persentase adalah sebagai berikut
Presentase = Jumlah dicari persentasenya/ jumlah keseluruhan x 100%
Saya membeli dispenser senilai 100.000, karena ternyata dispenser itu ada yang cacat dan tidak bisa ditukar maka saya jual dengan harga 67.000. Berapa persentase kerugian saya.
Cara menghitung persentase kerugiannya
jumlah kerugian/harga beli x 100%
100.000-67.000/100.00 x 100% = 33%
contoh soal lain
saya seorang pedagang, saya beli gula perkilonya 9800. Jika saya menginginkan untung 20% maka berapa gula tersebut harus saya jual lagi.
sobat bisa saja menghitung nilai keuntungan yang 20% nya dulu baru kemudian ditambahkan dengan 9.800. atau dengan cara yang lebih cepat.
120%
—– x 9.800 = 11.760
100%
penggunaan persentase dalam kehidupan sehari-hari bermacam-macam mulai dari pendidikan di sekolah, pedagang di pasar, bunga pinjaman, material bangunan dan lain-lain
Tips Dan Cara Paling Cepat Menentukan Akar Kuadrat

Tips Dan Cara Paling Cepat Menentukan Akar Kuadrat

Cara atau rumus ini asli dari rumus hitung dan bakal mudah dipahami. Sobat, sebenarnya soal ini hanya basic matematika, sangat mudah dicari, tapi kadang-kadang aga lama karena kita menerka-nerka bilangan (trial eror). Paling cepet 2 kali  percobaan (bisa satu kali tp itu berungtung atau memang sudah hafal) dan paling lama bisa tak terhitung percobaannya. Berikut ini cara (rumus) cepat untuk mencari akar dari suatu bilangan. Hanya satu kali percobaan langsung ketemu

1. Langkah Pertama: Lihat 1 digit angkat terakhir Misal √2209 , angka terakhirnya adalah 9, jadi akar dari bilangan tersebut angka terakhirnya kemungkinan 7 atau 3. Misal suatu bilangan berakhiran 6 pasti angka terakhir akarnya 6 atau 4. Berikut tabel lengkapnya. Bilangan Yang 1 digit terakhirnya Akarnya (digit terakhir)
Angka KuadratAngka terakhir akarnya
…11 atau 9
…42 atau 8
…5hanya 5
…64 atau 6
…93 atau 7
…0hanya 0
2. Langkah kedua: Lihat bilangan paling depan sebanyak jumlah digit bilangan tersebut dikurangi 2 (untuk > 100)
Misal 2209 (4 digit) maka kita cukup lihat (4-2) digit paling depan atau 2 digit paling depan.
Kita dapat angka 22.
3. Langkah ketiga: Cari bilangan kuadrat tepat dibawah bilangan yang sobat dapat di langkah no. 2 Kemudian akarkan.
Misal 2209, ketemu dua angka paling depan 22, maka bilangan kuadrat yang tepat di bawah 22 adalah 16, dan akar dari 16 adalah 4.
Langkah 1 sampai 3 bisa sobat lakukan di pikiran saja. Pakai coretan juga boleh asal tidak boros waktu.
4. Langkah keempat: Gabungkan dengan bilangan yang ditemukan di angka langkah no.1.
Jadi akar 2209 itu 47 kalau tidak 43. Jadi, kita tinggal sekali hitung, coba hitung angka 472 kalau benar hasilnya 2209 berarti 47 akarnya, kalau tidak otomatis 43.
Contoh lain misalnya akar dari 8.649
  1. Belakangnya pasti 3 atau 7
  2. Depannya 86 bilangan kuadrat yang tepat dibawahnya 81, jadi pasti angka 9
  3. Jadi akar dari 8.649 kalau ngga 93 ya 97 (tinggal ngitung 1 kali)
mekanisme lengkapnya
rumus cepat mencari akar kuadrat

Cara Menentukan Garis Singgung Antara Dua Lingkaran

Cara Menentukan Garis Singgung Antara Dua Lingkaran


Garis Singgung Dua Lingkaran.Sobat pernah lihat mesin giling ataupun roda sepeda? Bila sobat lihat lagi di sepeda terdapat rantai yang menghubungkan antara gear roda dengan gear pedal. Nah dua roda gear itulah yang disebut dua lingkaran dan rantai itu desebut garis singgungnya. Lebih tepatnya garis singggung persekutuan luar. Jadi dapat diartikan bahwa garis singgung lingkaran adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.
1. Garis Singgung Persekutuan Luar
garis singgung dua lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran luar


Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran rumus garis singgung luar lingkaran

– Lingkaran besar dengan pusat O1 dan jari-jari R1
– Lingkaran kecil dengan pusat O2 dan jari-jari R2
– d = jarak antara dua titik pusat lingkaran (antara O1 dan O2)
– GSL = Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran.
Dari mana sih asal rumus tersebut? Coba sobat amati gambar berikut,


Rumus mencari garis singgung dua lingkaran (garis persekutuan) sebenarnya berasal dari aturan phytagoras, Lihat segitiga siku-siku berwarna biru. Dengan segitiga itu kita bisa menghitung panjang garis GSL dengan pythagoras d(O1-O2) dan Selisih jari-jari lingkaran besar (R2) dengan jari-jari lingkaran kecil. maka didapatlah persamaan rumus garis singgung dua lingkaran seperti ini

rumus garis singgung persekutuan dalam
R1-R2 = seisih jari-jari.
Lalu bolehkah dibalik menjadi R1-R2?
Boleh karena pada prinsipnya bilangan negatif dan positif kuadratnya akan selalu positif. Sobat harus hati-hati dengan tanda negatif (-) dan Positif (+).
2. Garis Singgung Persekutuan Dalam
garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran = rumus garis singgung persekutuan dalam


Dari mana asal rumus tersebut? Sama seperti pada garis singgung lingkaran luar, ini hanya aturan phytagoras. Lihat gambar di bawah ini

asal rumus garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Lihat segitiga yang berwarna kuning. Kelihatan kan dari mana asal rumusnya. Yap, dari pythagoras antara d (jarak antar pusat lingkaran) dengan jumlah R1 dan R2. So didapatlah rumus seperti yang diatas. Buat sobat hitung, ini ada cara menghafalnya..
DALAM = TAMBAH (sama-sama ada M)
Deret Bilangan Matematika SMP Kelas 9

Deret Bilangan Matematika SMP Kelas 9

Deret bilangan


Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka akan terbentuk sebuah deret. Misalkan :
  1. Barisan bilangan asli : 1,2,3,4,…, maka deret bilangan asli : 1+2+3+4+…
  2. Barisan bilangan ganjil : 1,3,5,7,…, maka deret bilangan ganjil : 1+3+5+…
Untuk menyatakan jumlah dari suatu deret biasanya dilambangkan dengan huruf S. misalkan :
  1. Jumlah satu suku yang pertama dilambangkan dengan S1.
  2. Jumlah dua suku yang pertama dilambangkan dengan S2.
  3. Jumlah tiga suku yang pertama dilambangkan dengan S3.
  4. Jumlah n suku yang pertama dilambangkan dengan Sn.

Contoh :

Diketahui deret : 1+5+9+13+17+21+… tentukan :
1. Jumlah 1 suku yang pertama, jumlah 2 suku yang pertama, dan suku ke-2
Jawab :
Jumlah 1 suku yang pertama : S1 = 1
Jumlah 2 suku yang pertama : S2 = 1 + 5 = 6
Suku ke-2 : U2 = 5 diperoleh hubungan U2 = S2 – S1 = 6 – 1 = 5

2. Jumlah 2 suku yang pertama, jumlah 3 suku yang pertama, dan suku ke-3
Jawab :
Jumlah 2 suku yang pertama : S2 = 1 + 5 = 6
Jumlah 3 suku yang pertama : S3 = 1 + 5 + 9 = 15
Suku ke-3 : U3 = 9 diperoleh hubungan U3 = S3 – S2 = 15 – 6 = 9

3. Jumlah 3 suku yang pertama, jumlah 4 suku yang pertama, dan suku ke-4
Jawab :
Jumlah 3 suku yang pertama : S3 = 1 + 5 + 9 = 15
Jumlah 4 suku yang pertama : S4 = 1 + 5 + 9 + 13 = 28
Suku ke-4 : U4 = 13 diperoleh hubungan U4 = S4 – S3 = 28 – 15 = 13

rumus umum deret bilangan


Dari materi deret bilangan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa : suku ke-n = selisih antara jumlah n suku yang pertama dengan jumlah (n – 1) suku yang pertama.

Rumus : Un = Sn – Sn-1 dengan syarat n > 1


Contoh :
1. Jika diketahui rumus dari Sn = 4n2 – 5, maka tentukan nilai suku ke-5!
Jawab :
Sn = 4n2 –m5
S4 = 4 .42 – 5 = 4 . 16 – 5 = 64 – 5 = 59
S5 = 4 . 52 – 5 =4 . 25 – 5 = 100 – 5 = 95
U5 = S5 – S4 = 95 – 59 = 36
Jadi, nilai suku ke-5 adalah 36.

2. Jika diketahui rumus suku ke-n adalah Un = 5n – 1, maka hitunglah jumlah lima suku yang pertama !
Jawab :
Un = 5n – 1
U1 = 5 . 1 – 1 = 5 – 1 = 4
U2 = 5 . 2 – 1 = 10 – 1 = 9
U3 = 5 . 3 – 1 = 15 – 1 = 14
U4 = 5 . 4 – 1 = 20 – 1 = 19
U5 = 5 . 5 – 1 = 25 – 1 = 24
S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 4 + 9 + 14 + 19 + 24 = 70
Jadi, jumlah lima suku pertama adalah 70.

Penyelesaian masalah yang berkaitan dengan pola, barisan, dan deret bilangan


Contoh :
Biro pusat statistic memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember selama tahun 2013 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18, … nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember. Berdasarkan ilustrasi tersebut, maka :


1. Temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18, … !
Jawab :
Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, …
Nilai suku ke-2 barisan bilangan tersebut sama dengan hasil perkalian nilai suku ke-1 dengan 3.
Jadi, pola barisan tersebut adalah hasil perkalian nilai suku sebelumnya dengan 3.

2. Hitunglah nilai suku ke-4 sampai suku ke-6 !
Jawab :
U1 = 2
U2 = U1 × 3 = 2 × 3 = 6
U3 = U2 × 3 = 6 × 3 = 18
Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4, U5, dan U6 barisan bilangan tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan berikut.
U4 = U3 × 3 = 18 × 3 = 54
U5 = U4 × 3 = 54 × 3 = 162
U6 = U5 × 3 = 162 × 3 = 486

3. Tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan juni !
Jawab :
Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni membentuk barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486.
Jadi, jumlah seluruh kelahiran bayi dari bulan Januari hingga Juni besarnya adalah : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.
Rumus dan Pola Barisan Aritmatika

Rumus dan Pola Barisan Aritmatika

Pengertian barisan aritmetika


Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih dua suku berurutan adalah selalu tetap. Missal suatu barisan U1, U2, U3, …, Un-1, Un adalah barisan aritmetika,jika dipenuhi : U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b
Selisih yang tetap itu disebut beda (b) dari barisan aritmetika.

B = Un – Un-1

untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh :
Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika !
1. 1, 4, 7, 10, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, … adalah :
U2 – U1 = 4 – 1 = 3
U3 – U2 = 7 – 4 = 3
U4 – U3 = 10 – 7 = 3
Beda dari setiap barisan ini tetap sehingga barisan 1, 4, 7, 10, … adalah barisan aritmetika.

2. 3, 6, 12, 24, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24, … adalah :
U2 – U1 = 6 – 3 = 3
U3 – U2 = 12 – 6 = 6
U4 – U3 = 24 – 12 = 12
Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, … bukan barisan aritmetika.

3. 44, 41, 38, 35, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, … adalah :
U2 – U1 = 41 – 44 = -3
U3 – U2 = 38 – 41 = -3
U4 – U3 = 35 – 38 = -3
Beda dari setiap barisan ini tetap sehingga barisan 44, 41, 38, 35, … adalah barisan aritmetika.

rumus umum barisan aritmetika


Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b
Berdasarkan pola dari suku-suku pada barisan diatas, dapat ditentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika sebagai berikut.
Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika.
Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2, …, Un, maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama (a) dan beda (b) adalah :

Un = a + (n – 1)b


Contoh :
1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan 6, 10, 14, 18, …!

Jawab :
Barisan : , 10, 14, 18, …
Suku pertama = a = 6
Beda = b = 10 – 6 = 4
Rumus suku ke-n :
Un = a + (n – 1)b
Un = 6 + (n – 1)4
Un = 6 + 4n – 4
Un = 4n + 2
Suku ke-10 :
Un = 4n + 2
U10 = 4(10) + 2 = 40 + 2 = 42
Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 4n + 2 dan nilai suku ke-10 adalah 42.

2. Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 36.
  • Tentukan beda pada barisan tersebut !
Jawab :
Suku pertama = a = 6
Suku ketujuh = U7 = 36
Menentukan beda :
Un = a + (n – 1)b, maka
U7 = 6 + (7 – 1)b
36 = 6 + 6b
6b = 36 – 6
6b = 30
b = 30 : 6
b = 5
jadi, beda pada barisan tersebut adalah 5.

  • Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut !
Jawab :
Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut :
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, …


Rumus suku ke-n barisan aritmetika


Jika anda diminta menentukan suku ke-100 dari barisan bilangan asli, tentu saja anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut. Akan tetapi, bila anda diminta menentukan suku ke-100 dari barisan bilangan genap, anda akan menemui kesulitan bila diminta menjawab secara spontan dan tidaklah mungkin jika anda harus mencarinya dengan mengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang dinyatakan.
Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yang dicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika. untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke-n berikut dengan baik.
Misalkan U1, U2, U3, …, Un adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b, maka dapat ditulis :
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b
Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b
Barisan dan Deret Aritmatika Matematika SMP Kelas 9

Barisan dan Deret Aritmatika Matematika SMP Kelas 9

Deret aritmetika

Jika suku-suku dari suatu barisan aritmetika, maka akan terbentuk deret aritmetika. Nama lain deret aritmetika adalah deret hitung atau deret tambah.
Bentuk umum : a + ( a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)
Jika suatu deret, bentuk umum suku-sukunya ditentukan sebagai fungsi linear Un = pn + q, maka deret itu adalah deret aritmetika.
Rumus :

Sn = n/2 (a + Un)

Un = Sn – Sn – 1

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

Keterangan :
Sn = jumlah n suku yang pertama
a = suku awal
Un = suku ke-n

Contoh :
1. Tentukan jumlah lima suku pertama jika diketahui suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 !
Jawab :
U5 = 240
Suku pertama = U1 = a = 20
Un = a + (n – 1)b
U5 = 20 + (5 – 1)b
240 = 20 + 4b
4b = 240 – 20
4b = 220
b = 55

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)
S= 5/2 (2.20 + (5 – 1)55) = 2,5 (40 + 220) = 2,5 . 260 = 650

2. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret -8 + -5 + -2 + 1 + …!
Jawab :
Deret : -8 + -5 + -2 + 1 + …
U1 = a = -8
Beda = b = -5 – (-8) = 3
Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)
S10 = 10/2 ( 2(-8) + (10 – 1)3) = 5 ((-16) + 27) = 5 . 11 = 55


Barisan aritmetika 


Barisan aritmetik tingakat x adalah sebuah barisan aritmetika yang memiliki selisih yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.

Rumus : Un = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2! + (n – 1)(n – 2)(n – 3)d : 3! + …

Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya

contoh :
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 5, 6, 9, 14, 21, …!
Jawab :
5 6 9 14 21 …
1 3 5 7 … → tingkat satu
2 2 2 … → tingkat dua

a = 5
b = 1
c = 2
Un = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2!
Un = 5 + (n – 1)1 + (n – 1)(n – 2)2 : 2
Un = 5 + n – 1 + n2 – 3n + 2
Un = n2 – 2n + 6
Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = n2 – 2n + 6

2. Diketahui suatu barisan 10, 14, 20, 28, 38, …
  • Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut !
Jawab :
10 14 20 28 38 …
4 6 8 10 … → tingkat satu
2 2 2 … → tingkat dua

Didapat :
a = 10 b = 4 c = 2
rumus suku ke-n
Un = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2!
Un = 10 + (n – 1)4 + (n – 1)(n – 2)2 : 2
Un = 10 + 4n – 4 + n2 – 3n + 2
Un = n2 + n + 8
Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = n2 + n + 8

  • Hitunglah selisih suku ke-15 dan suku ke-10!
Jawab :
Suku ke-15 : U15 = 152 + 15 + 8 = 225 + 23 = 248
Suku ke-10 : U10 = 102 + 10 + 8 = 100 + 18 = 118
Selisih = U15 – U10 = 248 – 118 = 130
Jadi, selisih suku ke-15 dan suku ke-10 adalah 130.
Pembahasan Soal Dalam Materi Logika Matematika (Negasi, Konjungsi dan Disjungsi)

Pembahasan Soal Dalam Materi Logika Matematika (Negasi, Konjungsi dan Disjungsi)

Hallo Gengs Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee
Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan delapan contoh soal dari logika matematika yaitu negasi, konjungsi dan disjungsi. Bagi Gengs yang kurang mengerti bisa baca rangkuman materinya, plus ada soal latihannya juga.
Konjungsi Dan Disjungsi Dalam Logika Matematika

Nomor 1
Soal: Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini.
a) Hari ini Bogor hujan.
b) Kambing bisa terbang.
c) Didi anak bodoh
d) Siswa-siswi SMP memakai baju batik pada hari Rabu.

Pembahasan:
a) “Tidak benar bahwa hari ini Bogor hujan” atau Gengs bisa menulisnya dengan “Hari ini Jakarta tidak banjir”
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang atau Gengs bisa menulisnya dengan “Kambing tidak dapat terbang”
c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh atau Gengs bisa menulisnya dengan “Didi bukan anak bodoh”
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMP memakai baju batik pada hari Rabu atau Gengs bisa menulisnya dengan “Siswa-siswi SMP tidak memakai baju batik pada hari Rabu”


Nomor 2
Soal: Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini.
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.

Pembahasan:
Jika kita perhatikan dengan seksama pada soal nomor 1 dan soal nomor 2. Sehingga pada soal nomor 2 kita dapat menjawabnya seperti soal nomor 1. Namun kita juga perlu perhatikan Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" . Berikut ini jawaban untuk soal nomor 2 :
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.

Nomor 3
Soal: Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah...

Pembahasan:
Pada soal nomor tiga ini merupakan kebalikan dari soal nomor dua di atas. Jika sebelumnya pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada", maka soal nomor tiga ini merupakan kebalikan dari pernyataan tersebut.
Seandainya ini merupakan soal pilihan ganda. Saya akan memberikan beberapa pilihan seperti berikut.
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
d. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.

Nahhh kalau pilihannya seperti di atas, Gengs akan memilih apa ???
Ada Gengs yang menjawab pilihan b. Yaaa tepat kali....

p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
-p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap (jawabannya)

Nomor 4
Soal: Tentukan pernyataan majemuk dengan menggunakan operasi konjungsi atau yang sering disebut “dan”:
a) a : Hari ini Bogor hujan
b : Hari ini Bogor banjir

b) p : Hippo memakai topi
q : Hippo memakai dasi

c) p : Agus anak jenius.
q : Agus anak pemalas.

Pembahasan:
a) a : Hari ini Bogor hujan
    b : Hari ini Bogor banjir
    a ∧ b : Hari ini Bogor hujan dan banjir

b) p : Hippo memakai topi
    q : Hipp memakai dasi
    p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi

c) p : Agus anak jenius.
    q : Agus anak pemalas.
    p ∧ q : Agus anak jenius tetapi pemalas

Gengs kita juga harus tahu bahwa pada operasi konjungsi kita tidak harus selalu menggunakan “dan” namun bisa kita ganti dengan kata "tetapi", "walaupun", "meskipun" asalkan selaraskan dengan pernyataan.

Soal No. 5
Soal: Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Bogor hujan lebat.
    q : Hari ini aliran listrik putus.

Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ -q
c) -p ∧ q
d) -p ∧ -q

Pembahasan:
Nahhh untuk soal nomor lima ini kita akan menjawabnya dengan menggabungkan penengetahuan kita pada menjawab soal-soal sebelumnya.
Langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu kita tentukan terlebih dahulu negasi dari p dan negasi dari q. Setelah kita tentukan negasinya, selanjutnya kita satukan pernyataan tersebut dengan “konjungsi”.

Berikut ini adalah jawabannya:
p : Hari ini Bogor hujan lebat.
-p : Hari ini Bogor tidak hujan lebat
q : Hari ini aliran listrik putus.
-q : Hari ini aliran listrik tidak putus

Sehingga akan seperti berikut:
a) Hari ini Bogor hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Bogor hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c) Hari ini Bogor tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Bogor tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

Nomor 6
Soal: Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi atau yang sering kita kenal dengan “atau”
a) p : Ibu memasak soto ayam
q : Ibu membeli soto babat di warung makan

b) p : Pak Martinus mengajar Bahasa Inggris
q : Pak Martinus mengajar Bahasa Indonesia

Pembahasan:
a) p : Ibu memasak soto ayam
q : Ibu membeli soto babat di warung makan
p ∨ q : Ibu memasak soato ayam atau membeli soto babat di warung makan.

b) p : Pak Martinus mengajar Bahasa Inggris
q : Pak Martinus mengajar Bahasa Indonesia
p ∨ q : Pak Martinus mengajar Bahasa Inggris atau Bahasa Indonesia.

Nomor 7
Soal: Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini:
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Pembahasan:
Seperti pada soal-soal sebelumnya, maka negasi dari konjungsi adalah sebagai berikut.
a) Misalkan kita tentukan:
p: Bogor hujan lebat
q: Jakarta tidak banjir
Sehingga negasi dari p dan q akan sama dengan negasi p atau negasi q. Seperti berikut ini:
-p: Bogor tidak hujan lebat
-q: Jakarta banjir
“dan” negasinya “atau”
Sehingga akan menjadi:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir

b) Misalkan kita tentukan:
p: Hari ini tidak mendung
q: Budi membawa payung
Sehingga negasi dari p dan q akan sama dengan negasi p atau negasi q. Seperti berikut ini:
-p: Hari ini mendung
-q: Budi tidak membawa payung
“dan” negasinya “atau”
Sehingga akan menjadi:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung.

Nomor 8
Soal: Semua orang adalah sarjana
Pembahasan:
-p : Sebagian orang adalah tidak sarjana

Rangkuman Materi Matematika Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan

Rangkuman Materi Matematika Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan

Rangkuman Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan. Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, didefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentu (aturan tersebut dikenal sebagai suatu pemetaan).


Untuk matriks berordo 1x1, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks A berukuran (ordo) 1x1, yaitu
A =

Maka det (A) = |A| =
Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks maka
det(A) = + a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
Pada matriks segi , dengan elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₁₂ dan a₂₁, dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2x2.

Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.
Jika matriks A berordo 3x3

Maka det(A) = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂)
 

Metode ini dikenal dengan metode Sarrus.
Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks berukuran 3x3. Perhitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar akan cukup rumit apabila di kerjakan dengan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan suatu matriks adalah dengan metode minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Caranya akan dijelaskan sebagai berikut ini.

Misalkan adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks Didefinisika:
1.    Minor elemen , diberi notasi , adalah = det()
2.    Kofaktor elemen , diberi notasi , adalah =
Misalkan matriks dan kofaktor elemen , maka
1.    det(A) = , untuk sembarang i (i = 1, 2, ...., n)
2.    det(A) = , untuk sembarang j (j = 1, 2, ...., n)
Beberapa Sifat Determinan
1.    Jika matriks A memiliki suatu baris atau kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0
Contohnya:

Karena ada baris (yaitu baris ke dua) yang semua elemennya nol.



Karena ada kolom (yaitu kolom ke satu) yang semua elemennya nol.

2.    Jika ada satu barus atau kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det(A) = 0
Contohnya:

Karena ada baris (yaitu baris kedua) yang semua elemennya merupakan kelipatan dari baris lainnya (yaitu baris ke satu).


Karena ada kolom (yaitu kolom pertama) yang semua elemennya merupakan kelipatan dari kolom lainnya (yaitu kolom kedua).

3.    Jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian unsur-unsur diagonal utamanya
Contohnya:

Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 5.


Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 4.
Materi Matematika Perbandingan Bertingkat

Materi Matematika Perbandingan Bertingkat

Jika sobat hanya membandingkan dua hal pasti akan mendapatkan hasil yang satu lebih tinggi, lebih besar, lebih cepat, atau lebih bla..bla..bla dari yang lain. Definisi perbandingan selengkapnya bisa sobat baca artikel ini. Perbandingan bertingkat artinya perbandingan dengan tingkatan yang jumlahnya bisa lebih dari 2. Contohnya dari tiga orang Andi, Bono, dan Candra masing-masing memiliki tinggi 160 cm, 165 cm, dan 180 cm. Dari data tersebut kita bisa membuat perbandingan ketiganya secara bersamaan sebagai berikut:
Tinggi Andi : Tinggi Bono : Tinggi Candra = 32 : 33 : 36
Perbandingan tersebut memiliki 3 tingkatan
  1. Yang paling pendek adalah Andi
  2. Yang tingginya sedang adalah Bono
  3. Yang paling tinggi (tertinggi) adalah Candra

Menghitung Perbandingan Bertingkat

Untuk menyelesaikan soal perbandingan bertingkat sobat bisa menggunakan batuan tabel. Tabel ini berguna untuk membantu menghitung jawaban dari pertanyaan lebih cepat. Langkah-langkahnya:
  • Buatlah sebuah kolom, kolom 1 adalah identitas yang dibandingkan, kolom 2 berisi perbandingan, kolom 3 adalah bilangan pengali, dan kolom 3 adalah bilangan riil dari perbandingan tersebut. Bentuk ini tidak baku sobat bisa menggunakan tabel yang menurut sobat lebih mudah.
  • Carilah berapa bilangan pengali dengan membagi bilangan riil dengan bilangan pembanding (kolom 4 : kolom 2)
  • Kalikan bilangan pengali dengan angka perbandingan untuk mendapatkan bilangan riil.
Contoh Soal
Bu Asih menjual 3 macam buah yaitu pear, mangga, dan jambu. Perbandingan jumlah antara buah pear, mangga, dan jambu adalah 3 : 5 : 9 dan selisih jumlah antara buah jambu dan mangga adalah 24 buah. Tentukan berapa jumlah dari.
  1. Jumlah buah pear
  2. Jumlah buah mangga
  3. Jumlah buah jambu
  4. Jumlah ketiganya
  5. Selisih jumlah mangga dengan pear
Jawaban
Pertama kita masukkan semua data ke dalam tabel kemudian baru kita cari bilangan pengali dari data yang diketahui. Perhatikan ilustrasi jawaban di bawah ini:
tabel penyelesaian soal perbandingan bertingkat
Angka pengali 6 berlaku untuk semua koefisien baik masing-masing identitas maupun selisih dan jumlah. Langkah selanjutnya sangat mudah, sobat tinggal mengalikan semua angka perbandingan dengan angka pengali. Jadi sobat bisa menemukan dengan cepat jawabannya sebagai berikut:
  1. Jumlah buah pear = 3 x 6 = 18
  2. Jumlah buah mangga = 5 x 6 = 30
  3. Jumlah buah jambu = 9 x 6 = 54
  4. Jumlah ketiganya = 17 x 6 = 102 atau 18 + 30 + 54 = 102
  5. Selisih jumlah mangga dengan pear = 2 x 6 = 12
Mudah bukan sobat! 😀
Bentuk Soal Lain
Dalam soal kadang ada perbandingan bertingkat yang dipisahkan menjadi 2 bagian. Contoh soalnya sebagai berikut.
Perbandingan berat padi yang diperoleh Komang dan Lulus adalah 7 : 8 sedangkan perbandingan berat padi yang diperoleh Lulus dengan Momon adalah 9 : 10. Jika berat beras yang didapat ketiganya adalah 860, berapa berat padi yang diperoleh Komang, Lulus, dan Momon?
Dari soal di atas diketahui ada 3 variabel atau identitas dengan 2 perbandingan terpisah.
Komang : Lulus = 7 : 8
Lulus : Momon = 9 : 10
Untuk menghitung perbandingan bertingkat sebenarnya antara ketiganya sobat harus mencari KPK angka perbandingan Lulus (KPK antara 8 dan 9). Ketemu 72. Kemudian dimasukkan ke tabel pembantu seperti di bawah ini.
Caranya mirip sobat menyamakan penyebut dari pecahan 7/8 dengan 9/ 10. Jadi ketemu perbandingan bertingkat sebenarnya:
Komang : Lulus : Momon = 63 : 72 : 80
Jadi kita bisa menghitung
Berat padi Komang = 63/ 215 x 860 = 252 kg
Berat padi Lulus = 72/215 x 860 = 320
Berat padi Momon = 80/215 x 860 = 320