Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Tampilkan postingan dengan label Matematika SMA. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Matematika SMA. Tampilkan semua postingan
Cara Menyelesaikan Persamaan Linear  Tiga Variabel

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Kali ini saya akan membahas tentang materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga Variabel Kelas X Semester 1Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel
Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
Jawab :
Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)
2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z
Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____   +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)
Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh
6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____  _
5x = 25
x = 5
Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga
x + y = 8
(5) + y = 8
y = 3
selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)
3x + 2y + z = 20
3.(5) + 2.(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}


Contoh soal 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46
Jawab :
Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
3x + 4y – 3z = 3  …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21  …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)
Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh
3x + 4y – 3z = 3    |1| → 3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21    |4| → 8x – 4y+16z = 84    +
.                                  11x + 13z = 87 ……………..(4)
Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh
5x + 2y + 6z = 46    |1| → 5x + 2y + 6z = 46
2x – y + 4z = 21      |2| → 4x – 2y + 8z = 42     +
.                                    9x + 14z = 88 …………..(5)
Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh
9x + 14z = 88   |11|   99x +154z = 968
11x + 13z = 87  |9|    99x + 117z=783       _
.                                      37z = 185
.                                          z = 5
Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)
11x + 13z = 87
11x + 13.(5) = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2
Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
5x +2y +6z = 46
5.(2) +2y +6.(5) = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}


Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4
adalah …
Jawab :
Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)
2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)
Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut
2x + 5y + 4z = 28
4z = 28 – 2x – 5y
 ………………………………………..(4)
Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga
3x – 2y + 5z = 19
Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh
12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76
2x -33y = -64 ……………………………………….(5)
Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga
6x + 3y – 2z = 4
Jika kedua ruas dikali 4 maka
24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16
28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x
…………………………………………(6)
Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga
2x -33y = -64
2x – 108 + 42x = -64
44x = 44
x=1
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}
Cara Menyelesaikan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Cara Menyelesaikan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.

Misalnya:

Parhatikan garis bilangan berikut.







Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6

Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 

jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3

Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.



Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 

Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.

Misalnya seperti berikut.






Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.





Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.





Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.

Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.


Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.









Jawaban:

Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 

1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2

   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}


2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.

   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3

                                       2x = 2  <==>  x = 1

   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3

                                         2x = -8  <==> x = -4

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}


3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (x + 1) + 2x = 7

                   3x = 7 - 1

                   3x = 6

                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(x + 1) + 2x = 7

        -x - 1 + 2x = 7

                      x = 7 + 1                

                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.


 4.  Perhatikan bentuk  aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai  mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. 
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Mari kita selesaikan.

(*) untuk x >=-4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    (3x + 4) = x - 8

        3x - x = -8 - 4

             2x =-12

               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)

(**) untuk x < -4/3

     Persamaan mutlak dapat ditulis:

    -(3x + 4) = x - 8

        -3x - 4 = x -8

         -3x - x = -8 + 4

              -4x = -4

                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)


Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .

Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.







Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.








Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.









Jawaban

1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.

    -9 < x+7 < 9

    -9 - 7 < x < 9 - 7

       -16 < x < 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}


2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.

   (*) 2x - 1 >=  7

             2x  >=  7 + 1

             2x  >= 8

               x  >= 4


  (**) 2x - 1 <= -7


             2x   <= -7 + 1

             2x   <= -6

               x   <= -3
  
    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}


 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)2 <= (2x – 3)2

(x + 3)2 - (2x – 3)2
<= 0


(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3)
<= 0 (ingat: a2 – b2 =
(a+b)(a-b))



x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan  penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. Mari selidiki menggunakan garis bilangan





Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi. Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.








Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.








Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.

1. Untuk batasan x >= -1/3  ......(1)

   (3x + 1) - (2x + 4) < 10

          3x + 1 - 2x- 4 < 10

                         x- 3 < 10

                             x < 13 .......(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13




2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ......(1)

    -(3x + 1) - (2x + 4) < 10

          -3x - 1 - 2x - 4 < 10

                       -5x - 5 < 10

                             -5x < 15 

                               -x < 3

                             x > 3 .......(2)

Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.



3. Untuk batasan x < -2  ......(1)

   -(3x + 1) + (2x + 4) < 10

         -3x - 1 + 2x + 4 < 10

                        -x + 3 < 10

                             -x  < 7

                                x > -7 .......(2)



Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.



Rumus Matematika Untuk Menghitung Kecepatan

Rumus Matematika Untuk Menghitung Kecepatan


Cara menghitung kecepatan – Kecepatan adalah hal selalu kita lakukan dalam kehidupan dan aktivitas setiap hari. Seperti berpergian, kerja, bermain. Tanpa kita sadari kita melakukan yang disebut kecepatan. Kali ini kita akan mempelajari Cara menghitung kecepatan. Berikut proses langkah-langkah Cara menghitung kecepatan.
Cara menghitung kecepatan
Kriteria :
  • Menghitung waktu tempuh
  • Menghitung jarak tempuh
  • Menghitung kecepatan rata-rata
Rumus Cara menghitung kecepatan:
Cara Menghitung Waktu yang ditempuh
  • Jarak : Kecepatan rata-rata
Cara Menghitung Kecepatan rata-rata
  • Jarak : Waktu yang ditempuh
Cara Menghitung Jarak yang ditempuh
  • Kecepatan rata-rata X Waktu yang ditempuh
V = S/t
V = Kecepatan rata-rata
S = Jarak tempuh
t = waktu
1. Jarak dari kota A ke kota B 100 Km. Sebuah kendaraan melaju dengan kecapatan rata-rata
50 Km/jam. Jika kendaraan tersebut berangkat Pukul. 05.00. hitunglah :
a. Berapa lama waktu yang ditempuh ?
b. Pukul Berapakah Kendaraan tersebut tiba di kota B ?
Jawaban menghitung kecepatan :
a. Waktu yang ditempuh = 100 Km : 50 Km/jam = 2 jam
b. Tiba di kota B = Pukul 05.00 + 2 jam = Pukul 07.00
Demikian Cara menghitung kecepatan semoga bermanfaat bagi Anda.
Artikel yang terkait dengan Cara menghitung kecepatan, rumus kecepatan dan jarak, rumus percepatan, rumus percepatan dan kecepatan, rumus kecepatan, rumus kecepatan rata-rata, kecepatan
Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Rumus Cepat Dalam Menghitung Matematika Aljabar

Apa sih Aljabar Itu?
Anggapan bahwa aljabar matematika adalah sesuatu yang menyeramkan tidak pasti benar. Sobat mungkin hanya salah persepsi atau terpengaruh anggapan banyak orang. Selain itu mungkin hanya karena sobat saking takutnya, kemudian berimbas pada ulangan matematika yang jelek dan aljabar dijadikan kambing hitam. Kita semena-mena menyebutnya susah dan mengerikan.
Aljabar secara sederhana bisa disebut operasi matematika (penjumlahan, pengurang, dan temen-temennya) yang melibatkan variabel yang nampak berupa symbol-symbol dan angka. Adakah sobat hitung yang tahu dari mana asal kata aljabar? Aljabar berasal dari kata Al-Jebr atau oleh bangsa eropa sering ditulis algebra. Al-jebr adalah sebuah buku yang ditulis oleh seorang muslim bernama Al-Khawarizmi, ahli matematika asal pesia yang karyanya telah dijadikan dasar matematika modern.

Rumus Cepat Aljabar, perlukah?

Sebenarnya agar cepat mengerjakan soal aljabar tidak harus dengan rumus cepat aljabar. Jika kita belajar hanya dengan menghafal berbagai rumus tapi tidak paham makna dan mengerti maksudnya pasti akan cepat lupa. Cobalah memahami dasarnya dan berpikir secara logis dan tentunya ditambah banyak latihan. Aljabar adalah dasar dan ia bakal dipakai dalam banyak perhitungan matematika. Contoh sederhananya
Ketika ada persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Prinsipnya berpikirlah sederhana dan logis.
Contoh:
X + 7 = 10, berapa nilai x
X + 7 -7 = 10 – 7 (masing-masing ruas kurangi dengan 7)
X = 3
Jika ada soal 1252 -1242 = …
Akan sangat lama jika harus mennghitung kuadrat dari 125 dan kuadrat 124 kemudia baru kita kurangkan. Kadang sobat harus berpikir simple bahwa kita tahu a2 -b2 = (a+b) (a-b) = (125+124) (125-124) = 249 x 1 = 249 kalau tidak percaya silahkan sobat hitung pakai kalkulator. Contoh lain
99^2 – 98^2 = ???
= …. = 197 (Selesai.)
Caranya:
99^2 – 98^2 = (99+98).(99-98) = 197
Rumus cepat aljabar di atas juga bisa dipakai untuk case yang berbeda seperti tampak di bawahh ini
berapa hasil 102 x 98 = ???= (100 + 2)(100 – 2)
= 100^2 – 2^2
= 10.000 – 4 = 9.996 (tidak susah kan sobat).
Operasi Penjumlahan dan Perkalian Pada Himpunan

Operasi Penjumlahan dan Perkalian Pada Himpunan

Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.
Definisi I.1
Misalkan A himpunan tidak kosong. Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x+y dan x.y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:
1. terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x, y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.
2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

Contoh :
Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan * dengan aturan x*y = x-y.
Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.

Contoh :
Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x +2y dengan x, y dalam N = {1, 2, 3, … }. Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.
Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x+2y memberikan hasil tunggal untuk setiap x, y dalam N.

Untuk sebarang x, y dalam N maka jelas bahwa x+2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x+2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya N tertutup di bawah operasi #.

Hukum-hukum Aljabar
Suatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan padanya. Bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.

Definisi I.2
Misalkan * operasi biner pada himpunan A.
(1) operasi * assosiatif jika (a*b)*c = a*(b*c) untuk semua a, b, c dalam A.
(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

Dalam pembahasan selanjutnya hukum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.
Contoh :
Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a*b = (1/2)ab.
Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.
Karena (a*b)*c = (1/2 ab)*c
= (1/2)((1/2 ab)c)
= (1/4) (ab)c
dan pada sisi lain
a*(b*c) = a*((1/2) bc)
= (1/2) a((1/2) bc)
= (1/4)(ab)c
untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif. Karena a*b = (1/2)ab
= (1/2)ba = b*a untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

Contoh :
Operasi ⊕ didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a ⊕ b = a + 2b.
Akan ditunjukkan bahwa ⊕ tidak komutatif dan tidak assosiatif.
Karena pada satu sisi
(a ⊕ b) ⊕ c = (a+2b) ⊕ c = (a+2b)+2c
dan pada sisi lain
a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b+2c)
= a+2(b+2c)
= a+(2b+4c)
= (a+2b)+4c
dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c ≠ 0 maka ⊕ tidak assosiatif.
Karena a ⊕ b = a+2b dan b ⊕ a = b+2a dan kedua hasil ini tidak sama untuk a ≠ b maka ⊕ tidak
komutatif.

Terlihat bahwa aturan untuk * tidak menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu operasi.
Untuk membuktikan sifat tertutup dari suatu system X dimulai dengan dua sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan kemudian ditunjukkan bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.
Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R2 dimaksudkan himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = { (a,b) | a, b dalam R }.

Contoh :
Misalkan ⊕ mempunyai aturan (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c, b+d).
Akan ditunjukkan bahwa R2 tertutup di bawah operasi ⊕ .
Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)
dengan a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R2.

Oleh karena itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi ⊕. Selanjutnya operasi < A, *> menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi yang didefinisikan pada A.

Definisi I.3:
(1) < A,* > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang mempunyai sifat demikian dinamakan identitas untuk < A,* >.
(2) < A, * > memenuhi hukum invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a′ dalam A yang memenuhi a*a′ = a′*a = e. Elemen a′ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a.

Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0 untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota –a memenuhi a+(-a) = (-a)+a = 0 sehingga a mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan < Z, + > memenuhi hukum invers. Di samping itu Z mengandung identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.

Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.
Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x′ dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x*x′ = e dan x′*x = e.

Contoh :
Bila operasi didefinisikan seperti pada Contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa hukum invers dan hukum identitas berlaku.
Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas. Karena untuk sebarang (a,b) dalam R2 berlaku
(0,0)+(a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b) dan (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R2.
Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2 maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R2 merupakan inversnya. Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R2. Lebih jauh lagi, (a,b) ⊕ (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan (-a,-b) ⊕ (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0) sehingga (-a,-b) merupakan invers dari (a,b) dalam R2 .

Contoh  :
Bila * didefinisikan pada R dengan aturan a*b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa < R, *> tidak memenuhi hukum identitas. Karena supaya a*e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga e perlulah sama dengan 0.

Tetapi meskipun a*0 = a maka 0*a = 0*(a+0) = 0 yang secara umum tidak sama dengan a. Oleh karena itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a*e = a dan e*a = a. Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam R terhadap *.
Hukum Hukum Pada Teori Himpunan

Hukum Hukum Pada Teori Himpunan

Pada kesempatan kali ini yang akan kita coba bagikan kepada teman teman yaitu tentang Dasar-dasar teori tentang teori himpunan, berikut ini sangat penting dalam pembahasan tentang teori grup.
Hukum Hukum Pada Teori Himpunan

1. Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan obyek (kongkrit maupun abstrak) yang didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.
Contoh I.1 :
1. Himpunan bilangan 0, 1, 2 dan 3.
2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.
3. Himpunan : Negara-negara anggota ASEAN.
Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan digunakan notasi huruf besar. Hal itu berarti, himpunan di atas ditulis secara matematik yaitu :
1. A = { 0, 1, 2, 3 }.
2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }.
3. C = { Negara-negara ASEAN }.

Untuk membentuk himpunan, salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Roster (tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan 3
B sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh, penggunaan metode Rule adalah C = { x | x negara-negara ASEAN }. Kalimat di belakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat keanggotaan.

Apabila suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah ∈. Sebaliknya apabila bukan merupakan anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah ∉. Sebagai contoh, jika himpunan A = {0, 1, 2, 3 } maka 2 ∈ A sedangkan 4 ∉ A. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(A) = 4.

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A ∼ B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satusatu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh di atas himpunan A = {0, 1, 2, 3 } ekuivalen dengan himpunan E = {2, 4, 6, 8}.

Catatan :
Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {0, 1, 2, 3}, {1, 0, 3, 2} dipandang sama dengan {1, 2, 3, 0}
(ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {0, 0, 1, 1, 2, 3} dan {0, 1, 2, 3, 3, 3} dipandang sama dengan {0, 1, 2, 3}.

Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={0, 1, 2, 3} maka dapat diambil himpunan semestanya U = { bilangan bulat } atau U = { himpunan bilangan cacah }, dll.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan
notasi ∅ atau { }. Sebagai contoh jika D = { bilangan ganjil yang habis dibagi dua } maka D = ∅ atau D = { }.

Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi antar himpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai contoh jika diketahui himpunan E = { 2, 4, 6, 8 } dan himpunan semestanya adalah himpunan bilangan genap U dapat digambarkan dengan diagram Venn.

Misalkan diketahui himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) jika dan hanya jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B. Notasi yang biasa digunakan adalah A ⊆ B atau B ⊇ A. Notasi A ⊆ B dibaca A himpunan bagian dari B atau A termuat dalam B, sedangkan notasi B ⊇ A dibaca B memuat A.

Contoh I.2 :
Himpunan { 0 } ⊆ { 0, 1, 2, 3 } sedangkan 0 ∈ { 0, 1, 2, 3 }. Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya mengandung elemen yang tepat sama. Hal itu berarti bahwa A = B jika dan hanya jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya setiap anggota B juga menjadi anggota A. Untuk membuktikan A = B maka haruslah dibuktikan bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A. Sebagai contoh A = { 0, 1, 2, 3 } sama dengan himpunan B = { 1, 0, 2, 3 }. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan sehingga ∅ ⊆ A.

Jika A dan B himpunan maka A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) B jika dan hanya jika A ⊆ B dan A ≠ B. Notasi yang biasa digunakan adalah A ⊂ B. Sebagai contoh {1, 2, 4 } ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } bukan himpunan bagian himpunan G = {1, 3, 6, 8} atau A ⊄ G karena ada anggota A (misalnya 2) yang bukan anggota G. Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa (power set) yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan adalah 2A. 

Sebagai contoh, himpunan H = { 1, 2 } maka 2A = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }. Dalam hal ini n(2A) =2n(A) = 22 = 4. 

Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong dan A ∩ B = ∅. Sebagai contoh himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } saling asing dengan himpunan E = { 5, 6, 7, 8 }.

Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A. Notasi komplemen A adalah AC. Secara matematik dapat ditulis sebagai AC ={ x | x ∈ U dan x ∉ A }.
Sebagai contoh jika U = { 1, 2, 3,…, 10 } dan A = { 3, 5, 7 } maka AC={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.

Relasi antara himpunan A dan komplemennya yaitu AC dapat dinyatakan dalam diagram Venn. Dalam hal ini UC = ∅ dan ∅C = U. Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan
adalah A ∪ B. Secara matematika A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }. 

Sebagai contoh jika A = { a, i, e } dan B = { i, e, o, u } maka A ∪ B = { a, i, e, o, u }. Dalam hal ini berlaku sifat A ⊆ (A ∪ B} dan B ⊆ (A ∪ B} dan juga A ∪ AC = U.

Irisan (intersection) dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini digunakan notasi A ∩ B. Secara matematik A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }. 

Sebagai contoh jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B ={ 2, 4, 6, 8 } maka A ∩ B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B dan juga A ∩ AC=∅ .

Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah anggota A yang bukan B. Notasi yang digunakan adalah A-B. Secara matematik A-B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }. 
Sebagai contoh jika A = {0, 1, 2, 3} dan B = { 3, 4, 5 } maka A-B = { 0, 1, 2 }. Diagram Venn untuk selisih dapat digambarkan.

Jumlahan himpunan A dan B adalah himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi bukan anggota A dan B. Dalam hal ini digunakan notasi A + B. Secara matematik dapat dinyatakan sebagai A + B = { x | x ∈ (A ∪ B) tetapi x ∉ (A ∩ B) }. 
Sebagai contoh jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B ={ 2, 4, 6 } maka A + B = { 1, 3, 5, 6 }. Diagram Venn dari operasi penjumlahan dapat digambarkan. Catatan bahwa : A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B) atau A + B = (A - B) ∪ (B - A).

Hukum-hukum aljabar himpunan:
1. Hukum komutatif :
  •  A ∩ B = B ∩ A
  • A ∪ B = B ∪ A

Bukti :
Karena A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } maka A ∩ B = { x | x ∈ B dan x ∈ A } = B ∩ A.
Karena A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } maka A ∪ B = { x | x ∈ B atau x ∈ A } = B ∪ A.

2. Hukum assosiatif: 
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

3. Hukum idempoten:
  •  A ∩ A = A
  • A ∪ A = A

4. Hukum distributif : 
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∩ C)
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

5. Hukum de Morgan :
  •  (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
  • (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

6. Jika A ⊆ B maka A ∩ B = A dan A ∪ B = B.