Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Tampilkan postingan dengan label Kelas XII. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Kelas XII. Tampilkan semua postingan
Rangkuman Rumus Pada Integral Tigonometri

Rangkuman Rumus Pada Integral Tigonometri

Suatu fungsi trigonometri juga dapat diintegralkan. Untuk megintegralkan fungsi trigonometri ada beberapa rumus-rumus dasar yang perlu diketahui.
  1. Bentuk Baku Integral Trigonometri
∫▒sin⁡〖u 〗  du=-cos⁡u+C ∫▒sec^2⁡u  du=tan⁡u+C ∫▒〖sin⁡u  tan⁡u 〗 du=sec⁡u+C ∫▒tan⁡u  du=-ln|cos⁡u |+C ∫▒cos⁡u  du=sin⁡u+C ∫▒csc^2⁡u  du=-cot⁡u+C ∫▒〖csc⁡u  cot⁡u 〗 du=-csc⁡u+C ∫▒cot⁡u  du=ln|sin⁡u |+C
Selain rumus dasar integral di atas dalam mengintegralkan fungsi trigonometri juga digunakan identitas trigonometri. Berikut ini adalah beberapa identitas trigonometri yang sering digunakan.
  1. Identitas Trigonometri
cos⁡〖x=1/sec⁡x 〗 sin⁡x=1/csc⁡x  tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x  csc⁡x=1/sin⁡x  sec⁡x=1/cos⁡x  cot⁡x=cos⁡x/sin⁡x  Cos2x + Sin2x = 1 Sin2x=(1-cos⁡2x)/2 Cos2x=(1+cos⁡2x)/2 Tan2x =sec^2⁡x-1 Cot2x = Csc2x -1
Subtitusi dalam integral trigonometri
Subtitusi juga digunakan dalam integral trigonometri yaitu dengan mengubah bentuk fungsi trigonometri menjadi bentuk baku yaitu dengan mengubah fungsi menggunakan identitas trigonometri.

Dalam mengerjakan soal integral trigonometri kita perlu melakukan permisalan dalam pemisalan tersebut biasanya yang dimisalkan diturunkan atau kita menggunakan diferensial. Sehingga kita juga perlu memahami konsep diferensial.
Diferensial suatu fungsi adalah sebagai berikut
Dx axn = n . axn-1
Contoh :
  1. ∫ Sin 5x dx tentukan integral tersebut !
Jawab :
Misal :
u = 5x
du = 5 dx
1/5 du = dx
sehingga
∫ Sin 5x dx = ∫ Sin u 1/5 du
Ganti 5x dengan permisalan sebelumnya yaitu u. kemudian subtitusikan dx yaitu 1/5 du.
= 1/5 ∫ Sin u du
Kemudian lihat bentuk baku integral dari sin yaitu –cos.
= – 1/5 cos u
Karena sudah diintegralkan maka lambang integralnya hilang dan di tambah + C di akhir jawaban. Kemudia jangan lupa untuk mensubtitusikan nilai u yaitu 5x
= – cos 5x + C
  1. Carilah
soal integral trigonometri
Jawab :
Perhatikan bentuk integral tersebut.
∫▒x/cos^2⁡〖x^2 〗   dx= ∫▒1/cos^2⁡〖x^2 〗 .x dx karena 1/cos⁡x =sec x Maka 1/cos^2⁡〖x^2 〗  = Sec2x2 ∫▒x/cos^2⁡〖x^2 〗   dx =∫▒xsec2x2 dx
Selanjutya kita melakukan pemisalan yaitu
U =x2
du =2x dx
1/2 du = x dx
Sehingga
∫▒1/2sec2u du = 1/2 ∫▒sec^2⁡u  du    = 1/2 tan u + C    = 1/2 tan x2
  1. Carilah hasil dari integral trigonometri berikut ∫_0^(π/2)▒sin⁡6x   dx
Jawab :
Misal :
U = 6x
du = 6dx
1/6 du = dx
Kemudian karen adalam soal terdapat batas yaitu (0, π/2). Sehingga kita harus mensubtitusikan batas tersebut ke pemisalan.
U = 6x
Untuk x=0
U = 6.0 = 0
Untuk x= π/2
U = 6. π/2= 3π
Maka batasnya sekarang berubah yaitu menjadi (0,3π)
Sehingga
∫_0^(π/2)▒sin⁡6x   dx =∫_0^3π▒〖1/6 sin〗⁡u   du    =  1/6 ∫_0^3π▒sin⁡u  du    = 1/6-cos⁡u    =1/6 (〖-cos〗⁡3π-(-cos 0)    =  1/6 (-1+1)    =1/6 . 0    = 0
Ketika memiliki batas maka + C tidak perlu di tambakan saat hasil akhir.

Integral Parsial

Rumus integral parsial yaitu
rumus integral parsial
Contoh :
  1. ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =…..
    |____| |__________|
    u dv
Jawab :
Langkah pertama yaitu tentukan terlebih dulu mana u dan mana dv
Misalkan
(x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) …(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π) dx …(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi sesuai rumus integral parsial:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
  1. ∫ x sin 2x dx = …
Jawab :
jawaban soal integral parsial nomor 2
Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel- Sistem persamaan linear tiga variabel bisa diartikan sebagai himpunan dari tiga buah persamaan garis lurus dimana masing - masing persamaan tersebut terdiri dari tiga buah peubah (variabel). Ada beberapa metode yang bisa kita pakai untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, yaitu metode substitusi, eliminasi, dan determinan. Agar kalian bisa lebih memahami materi ini, sebaiknya kalian pelajari dulu materi tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA

Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sama halnya dengan prinsip penyelesaian persamaan yang lain, langkah awal kita harus mengurangkan (mengeliminasi) dua persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan satu buah variabel. Simak baik - baik contoh soal dan pembahasan di bawah ini ;

Contoh Soal :
Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikunt:

3x - y + 2z = 15    ......(i)
2x + y + z = 13     ......(ii)
3x + 2y + 2z = 24 ......(iii)

Penyelesaian :
Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu :

3x - y + 2z = 15 X 1 → 3x - y + 2z = 15
2x + y + z = 13  X 2 → 4x + 2y + 2z = 26
                         ____________________ - 
                                       -x - 3y = -11 ......(iv)


2x + y + z = 13      |X2 4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24  |X1 3x + 2y + 2z = 24
                              ____________________ -     
                                                       x = 2 ......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv), sehingga :

-x - 3y = -11
-(2) - 3y = -11
         3y = -11 + 2
              = 9
           y = 3

Sekarang kita telah mendapatkan nilai y. Lansung saja substitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z.

2x + y + z = 13
2(2) + 3 + z = 13
    4 + 3 + z = 13
          7 + z = 13
                z = 13 - 7
                   = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

Demikianlah pembahasan singkat materi mengenai Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Semoga dengan adanya artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaiakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Teruslah belajar dan belajar!
Sifat-sifat Transpose Matriks serta Contoh Soal dan Pembahasan

Sifat-sifat Transpose Matriks serta Contoh Soal dan Pembahasan

Sifat-sifat Transpose Matriks serta Contoh Soal dan Pembahasan - Yang dimaksud dengan transpose matriks yaitu ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari transpose matriks adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen - elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan hurut T kecil di atas (AT). Perhatikan gambar berikut ini :

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan

Berdasarkan gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika diperhatikan, elemen - elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke-3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke-3/ Sekarang perhatikan baik - baik sifat - sifat yang berlaku untuk transpose matriks.


Sifat - Sifat Matriks Transpose


Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu :

(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
λ(AT) = (λAT), bila λ suatu scalar
(AB)T = BT AT



Contoh Soal dan Pembahasan Transpose Matriks

Berikut adalah salah satu contoh soal tentang transpose matriks dan pembahasan mengenai cara menjawab dan menyelesaikannya :

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan


Demikianlah pembahasan materi mengenai Sifat-sifat Transpose Matriks serta Contoh Soal dan Pembahasan. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini.
Materi Matematika Barisan dan Deret Aritmatika

Materi Matematika Barisan dan Deret Aritmatika

Materi Matematika Barisan dan Deret Aritmatika -  Sebelum memahami pengertian barisan aritmatika kita harus mengetahui terlebih dahulu mengenai pengertian barisan bilangan. Barisan bilangan merupakan sebuah urutan dari bilangan yang dibentuk dengan berdasarkan kepada aturan - aturan tertentu. Sedangkan barisan aritmatika bisa didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang tiap - tiap pasangan suku yang berurutan mengandung nilai selisih yang sama persisi, contohnya adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan bilangan tersebut bisa disebut sebagai barisan bilangan aritmatika karena masing - masing suku memiliki selisih yang sama yaitu 2. Nilai selisih yang muncul pada barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan menggunkaan huruf b. Setiap bilangan yang membentuk urutan suatu barisan aritmatika disebut suku. Suku ke n dari sebuah barisan aritmatika dapat disimbolkan dengan lambang Un jadi untuk menuliskan suku ke 3 dari sebuah barisan kita bisa menuliskannya menjadi U3. Namun, ada pengecualian khusus untuk suku pertama di dalam sebuah barisan bilangan, suku pertama disimbolkan dengan menggunakan huruf a.

Maka, secara umum suatu barisan aritmatika memiliki bentuk :

U1,U2,U3,U4,U5,...Un-1
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ...a+(n-1)b




Cara Menentukan Rumus suku ke-n dari sebuah barisan


Pada barisan aritmatika, mencari rumus suku ke-n menjadi lebih mudah karena memiliki nilai selisih yang sama, sehingga rumusnya adalah :

U2 = a + b
U3 = u2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = u4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U6 = u5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b
U7 = u6 + b = (a + 5b) + b = a + 6b
.
.
.
U68 = u67 + b = (a + 66b) + b = a + 67b
U87 = u86 + b = (a + 85b) + b = a + 86b

Berdasarkan pola urutan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa rumus ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah :

Un = a + (n-1)b dimana n merupakan bilangan asli



Pengertian Deret Aritmatika

Deretan aritmatika didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Sebagai contoh kita ambil sebuah barisan aritmatika 8, 12, 16, 20, 24 maka deret aritmatikanya adalah 8 + 12 + 16 + 20 + 24

Untuk menghitung deret aritmatika tersebut masih terbilang mudah karena jumlah sukunya masih sedikit :

8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 80

Namun, bayangkan jika deret aritmatika tersebut terdiri dari ratusan suku, tentu akan sulit untuk menghitungnya. Oleh karenanya, kita harus mengetahui rumus untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Rumus yang biasa digunakan yaitu :

Sn = (a + Un) x n : 2

Sebelumnya kita sudah mengetahui rumus untuk menghitung Un, maka rumus tersebut bisa dimodifikasi menjadi :

Sn = (a + a +  - 1)b) x n : 2



Sisipan pada Deret Aritmatika

Sisipan pada deret aritmatika bisa diperoleh dengan cara menambahkan deret kecil aritmatika lainnya diantara dua buah suku yang berurutan di dalam sebuah deret aritmatika. Agar kalian bisa memahami, perhatikan baik - baik contoh di bawah ini:

Deret aritmatika awal = 2+8+14+20+26+32
Deret aritmatika setelah diberi sisipan = 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32

Nilai selisih pada deret aritmatika yang telah diberi sisipan (b1) bisa diketahui dengan menggunakan rumus :

b1 = b/(k+1)

ket :
b1 = selisih pada deret yang telah diberi sisipan
b = selisih pada deret aritmatika awal
k = banyaknya bilangan yang disisipkan

Sebagai contoh untuk menghitung selisih deret baru pada deret aritmatika yang telah dijelaskan di atas adalah :

Deret awal = 2+8+14+20+26+32
Deret baru = 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32

Rumus : b1 = b/(k+1)

Diketahui :
b = 8 - 2 = 6
k = 2

Maka :
b1 = 6/(2+1)
     = 6/3
     = 2


Demikianlah pembahasan materi mengenai Barisan dan Deret Aritmatika. Sebenarnya materi ini tidak terlalu sulit untuk dipahami, hanya dibutuhkan ketelitian dalam menghitung setiap suku yang ada agar hasilnya menjadi benar. Untuk memperdalam pemahaman dan pengetahuan kalian mengenai barisan dan deret aritmatika, sebaiknya kalian terus berlatih dengan mencoba memecahkan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!
Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12
Fungsi Eksponen dan Logaritma Materi ini telah dipelajari pada pelajaran matematika kelas 10 SMA. Pembahasan yang akan disampaikan dalam artikel kali ini akan membahas lebih jauh mengenai fungsi eksponen dan logaritma untuk kelas 12 SMA dengan lebih terperinci agar kalian mampu menggunakan aturan - aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritme beserta mampu memecahkan masalah yang berhubungan dengan materi ini. Sebelum mempelajari materi ini sebaiknya kalian telah memahami dengan baik mengenai konsep eksponen, persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, serta tata cara menggambar kurva suatu persamaan kuadrat dan juga trigonometri. Jika kalian sudah memahami keseluruhan konsep tersebut, maka kalian akan lebih mudah dalam memahami pembahasan materi yang akan disampaikan di dalam artikel ini.

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan mampu untuk menggambar grafik dan mempergunakan sifat - sifat serta fungsi yang ada di dalam eksponen dan logaritma untuk memecahkan masalah. Selain itu kalian juga diharapkan untuk mampu menggunakan sifat - sifat tersebut untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen. Langsung saja, simak baik - baik pembahasan materi berikut ini ;


Pembahasan Materi Fungsi Eksponen dan Logaritma


Pengertian Fungsi Eksponen
Di dalam materi pelajaran matematika kelas 10 tentu kalian telah mempelajari konsep eksponen bentuk bilangan bulat. Sebelum mempelajari materi tentang eksponen yang ada di dalam artikel ini, maka sebaiknya kalian ingat kembali sifat bilangan berpangkat rasional. Apabila a dan b merupakan bilangan real, p dan q merupakan bilangan rasional maka hubungan yang berlaku adalah sebagai berikut :

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Dalam materi mengenai eksponen untuk kelas 12 akan dibahas lebih mendetail mengenai perpangkatan dimana pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan tersebut disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen mempunyai banyak manfaat dalam kehidupan sehari - hari sebagai contoh fungsi ini digunakan dalam proses peluruhan radioactive, proses pertumbuhan tanaman, serta konsep perhitungan yang ada di bank dan masih banyak lagi contoh lainnya.


Persamaan Fungsi Eksponen dan penerapannya


Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12


Demikianlah pembahasan materi mengenai Fungsi Eksponen dan Logaritma. Semoga dengan adanya artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berhubungan dengan materi ini. Selamat belajar!