Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang

Apakah kalian pernah memainkan rubik? Rubik adalah sebuah permainan puzzle yang memiliki bentuk 3 dimensi. Bentuk rubik pada umumnya adalah kubus, seperti bisa kalian lihat di bawah ini:

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
Tahukah kalian berapa panjang diagonal ruang dan diagonal bidang pada sebuah rubik? Untuk bisa menjawabnya kalian harus memahami konsep serta rumus mencari diagonal bidang dan diagonal ruang. Panjang diagonal bidang dan diagonal ruang adalah panjang jarak dari titik ke titik yang ada di dalam sebuah kubus.

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang

Ada tiga buah kemungkinan yang terjadi untuk kedudukan titik terhadap titik, garis, ataupun bidang, yaitu:

JARAK TITIK KE TITIK YANG LAIN

Coba kalian amati gambar berikut ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang

Pada gambar tersebut terdapat dua buah titik, yaitu titik A dan titik B. Jarak dari kedua titik tersebut dapat kita tentukan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan sebuah garis. Panjang garis itulah yang menentukan jarak kedua titik tersebut. Sehingga, jarak dari titik A dengan titik B merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya.

Perhatikan contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1:
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini:

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
Apabila panjang rusuk pada kubus diatas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah Jarak:

a. titik H ke titik A
b. titik H ke titik X
c. titik H ke titik B
d. Titik E ke titik X

Penyelesaiannya:

a.) titik H ke titik A adalah poanjang garis AH. Garis AH adalah panjang diagonal sisi pada kubus tersebut maka kita dapat menggunakan teorema phytagoras berikut ini:

AH =√(EH2 + AE2)
AH =√(62 + 62)
AH =√(36 + 36)
AH =√72
AH =6√2

b.) jarak titik H ke titik X adalah panjang garis HX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka:

AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 xm = 3 cm

dengan menggunakan teorema phytagoras:

HX =√(AH2 + AX2)
HX =√((6√2)2 + 32)
HX =√(72 + 9)
HX =√81
HX =9 cm

c.) jarak titik H ke titik B adalah panjang garis BH. Garis BH adalah panjang diagonal ruang pada kubus tersebut, oleh karenanya kita bisa menggunakan teorema phytagoras:

BH =√(AH2 + AB2)
BH =√((6√2)2 + 62)
BH =√(72 + 36)
BH =√108
BH =6√3 cm

d.) Jarak titik E ke titik X aalah panjang garis EAX. panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka:

AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 xm = 3 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

EX =√(AE2 + AX2)
EX =√(62 + 32)
EX =√(36 + 9)
EX =√45
EX =3√5 cm

JARAK TITIK KE GARIS

Amati gambar berikut ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang

Pada gambar tersebut ada titik A dan garis g. Jarak antara titik A dengan garis g diperoleh dengan menarik haris dari titik A ke garis g, garis tersebut berhenti di titik P sehingga terciptalah garis AP yang tegak lurus terhadap garis g. jarak dari titik A ke garis g merupakan panjang dari garis AP. Sehingga, jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus terhadap garis tersebut.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 2:
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini:

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
apabila panjang rusuk pada kubus di atas adalah 6 cm dan titik X merupakan pertengahan diantara rusuk AB, maka hitunglah:

a. jarak titik X ke garis DE
b. jarak titik X ke garis CE

Penyelesaiannya:
Karena soal ini sama persis dengan contoh soal 1, maka akan digunakan hasil perhitungan dari contoh soal 1.

Kita buat dahulu gambar seperti ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
a.) Jarak  titik X ke garis DE adalah panjang garis dari titik X ke titik M yang posisinya tegak lurus terhadap garis DE, seperti gambar di bawah ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
DE = AH dan ME = ½ DE = ½ AH = ½ 6√2 = 3√2
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
MX =√( EX2 – ME2)
MX =√((3√5)2 – (3√2)2)
MX =√(45 – 18)
MX =√27
MX =3√3 cm

b) Jarak titik X ke garis CE adalah  panjang garis dari titik X ke titik N yang posisinya tegak lurus terhadap garis CE, seperti gambar di bawah ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
CE = BH dan NE = ½ CE = ½ BH = ½ 6√3 = 3√3
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
NX =√(EX2 – NE2)
NX =√((3√5)2 – (3√3)2)
NX =√(45 – 27)
NX =√18
NX =3√2 cm

JARAK TITIK KE BIDANG

Perhatikan gambar berikut ini:
Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
Di dalam gambar tersebut terdapat sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak dari  titik A ke bidang α dapat diketahui dengan cara menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Sehingga, jarak dari suatu titik ke suatu bidang merupakan jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang itu.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 3:
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini:

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
Apabila panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak dari titik X ke bidang CDEF!

Penyelesaiannya:
Buatlah gambar seperti berikut ini:

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang
Jarak titik X ke bidang CDEF adalah panjang garis dari titik X ke titik Z yang tegak lurus terhadap bidang CDEF.

XZ =  ½ AH = ½ 6√2 = 3√2 cm
Operasi Pembagian Bilangan Bulat Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Operasi Pembagian Bilangan Bulat Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Dalam artikel kali ini, admin akan menjelaskan materi mengenai operasi pembagian bilangan bulat. Sebelum kalian mempelajari materi ini terlebih dahulu kalian harus memahami konsep Operasi Perkalian Bilangan Bulat seperti yang telah disampaikan dalam materi sebelumnya. Karena bentuk operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian pada bilangan bulat. Untuk memahami materi mengenai operasi pembagian bilangan bulat, perhatikan pembahasan di bawah ini.

Operasi Pembagian Bilangan Bulat Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Pembagian Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Hasil bagi antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
Contoh :
1. -5 x (-7) = 35, maka :
      35 : (-7) = -5
      35 : (-5) = -7
2. -4 x (-8) = 32, maka :
      32 : (-4) = -8
      32 : (-8) = -4
3. -11 x (-24) = 264, maka :
      264 : (-24) = -11
      264 : (-11) = -24
Di mana untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku a : (-b) = -(a : b).


Pembagian Bilangan Bulat Negatif Dengan Bilangan Bulat Negatif

Hasil bagi antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
Contoh :
1. 5 x (-8) = -40, maka :
      -40 : (-8) = 5
2. -9 x 2 = -18, maka :
      -18 : (-9) = 2
3. 7 x (-4) = -28, maka :
      -28 : (-4) = 7
Di mana untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku (-a) : (-b) = (a : b).

Pembagian Bilangan Bulat Dengan Nol (0)

Untuk mengetahui operasi pembagian bilangan bulat dengan nol (0), kita mengingat kembali perkalian bilangan bulat dengan nol (0). Di mana untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku a x 0 = 0 => 0 : a = 0.
Dari definisi di atas, dapat dituliskan bahwa "untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0 dan a ≠ 0". Hal tersebut tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 hasilnya tidak terdefinisi. Kesimpulannya adalah "jika bilangan nol (0) dibagi dengan bilangan bulat (bukan nol) maka hasilnya akan selalu nol (0).

Contoh Soal Volume Kubus dan Pembahasannya

Contoh Soal Volume Kubus dan Pembahasannya


Sebelum kalian menyimak materi tentang Contoh Soal Volume Kubus dan Pembahasannya yang akan diberikan di dalam postingan ini, sebaiknya kalian mempelajari terlebih dahulu artikel mengenai Cara Menghitung Rumus Volume Kubus dan Balok. Jika sudah memahami konsepnya dengan baik pasti kalian akan lebih mudah dalam mempelajari langkah-langkah penyelesaian soal tentang volume kubus yang akan diberikan di bawah ini:

5 Contoh Soal dan Pembahasan Volume Bangun Ruang Kubus

Contoh Soal 1:


Sebuah kubus memiliki panjang rusuk  6 cm. Tentukanlah volume kubus tersebut!



Penyelesaiannya:

Diketahui : rusuk kubus (r) = 6 cm

Ditanya : volume (v)

Jawab :



V = r x r x r = 6 x 6 x 6 =  216 cm3



Jadi volume kubus tersebut adalah 216 cm3



Contoh Soal 2:


Andi akan mengirim paket berupa 125 souvenir yang dikemas dalam kotak berbentuk kubus berukuran 4 cm. Sebelum dikirim, souvenir tesebut dimasukan kedalam kardus besar yang berbentuk kubus hingga kardus terisi penuh.  Berapakah ukuran panjang kotak kardus yang digunakan Andi?



Penyelesaiannya:

Diketahui : Jumlah kotak obat = 125

                 Rusuk kotak souvenir =  4 cm



Ditanya = panjang rusuk (r)



Jawab : agar semua souvenir dapat masuk ke kardus, souvenir harus disusun sedemikian sehingga menyerupai bentuk kardus besar dengan susunan satuan kubus kecil tertentu. 

Contoh Soal  Volume Kubus dan Pembahasannya









Jadi ukuran panjang kardus adalah 20 cm



Contoh Soal 3:


Kamar mandi Wira memiliki bak berbentuk kubus dengan kedalaman 1 meter. Bak tersebut diisi air hingga penuh. Berapa liter air yang mengisi bak mandi Wira?



Penyelesaiannya:

Diketahui : rusuk kubus (r) = 1 meter

Ditanya : volume (v)                            



Jawab : V = r x r x r = 1 x 1 x 1 =  1 m3 = 1000 dm3 = 1000 liter



Jadi banyak air yang mengisi bak mandi Wira adalah 1000 liter



Contoh Soal 4:


Sandri memiliki mainan berbentuk kubus, ia menyusun kubus mainannya menjadi kubus yang berukuran lebih besar. Panjang sisi kubus besar yang dibuat Sandri adalah 4 buah kubus mainan. Berapa jumlah kubus yang digunakan Sandri untuk membuat kubus besar?



Penyelesaiannya:

Diketahui : rusuk kubus (r) = 4 satuan

Ditanya : banyak kubus mainan yang dibutuhkan = volume kubus (v)         



Jawab : V = r x r x r = 4  x 4 x 4 =  64 satuan



Jadi banyak kubus yang digunakan Sandri adalah 64 kubus



Contoh Soal 5:


Sebuah aquarium berbentuk kubus memiliki volume 343 liter. Berapa cm tinggi aquarim tersebut?



Penyelesaiannya:

Diketahui : volume kubus (v) = 343 liter = 343 dm3

Ditanya : tinggi aquarium = rusuk (r)  



Jawab :
Contoh Soal  Volume Kubus dan Pembahasannya




 Jadi tinggi aquarium adalah 70 cm.
Sifat - Sifat Operasi Hitungan Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Sifat - Sifat Operasi Hitungan Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Pada artikel kali ini, admin akan membahas materi tentang sifat - sifat operasi hitungan. Selain kita bisa menghitung jumlah dan menyelesaikan suatu operasi hitungan, kita juga harus memahami sifat - sifat dalam pengoperasian hitungan misalkan, 20 + 12 = 32 akan sama hasilnya dengan 12 + 20 = 32 artinya kedua bilangan {(20 dan 12)} ditukarkan hasilnya tetap sama. Selain dari sifat tersebut masih ada sifat - sifat operasi hitungan yang lain. Untuk lebih jelasnya, perhatikan baik - baik penjelasan materi di bawah ini.

Sifat - Sifat Operasi Hitungan Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Sifat - Sifat Operasi Hitung Bilangan
1. Sifat Komutatif

Suatu bilangan penjumlahan atau perkalian jika kedua bilangan tersebut ditukarkan, maka hasilnya akan tetap sama. Artinya, sifat komutatif merupakan sifat pertukaran.
Contoh :
=> Penjumlahan : 7 + 8 = 15 dan 8 + 7 = 15 jadi, + 8 = 8 + 7
=> Perkalian : 5 x 9 = 45 dan 9 x 5 = 45 jadi, 5 x 9 = 9 x 5
Sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan.
Contoh : 6 - 3 = 3 dan 3 - 6 = -3 (jika kedua bilangan ditukarkan hasilnya tidak sama).

2. Sifat Asosiatif

Suatu operasi penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan yang dikelompokkan secara berbeda, hasil operasinya akan tetap sama. Artinya, sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokkan.
Contoh :
=> Penjumlahan : (3 + 4) + 8 = 7 + 8 = 15 dan 3 + (4 + 8) = 3 + 12 = 15
     Jadi, (3 + 4) + 8 = + (4 + 8)
=> Perkalian : (8 x 2) x 5 = 16 x 5 = 80 dan 8 x (2 x 5) = 8 x 10 = 80
     Jadi, (8 x 2) x 5 = 8 x (2 x 5)


3. Sifat Distributif

Sifat distributif merupakan sifat penyebaran.
Contoh :
=> Penjumlahan : 3 x (7 + 9) = 3 x 16 = 48
                             (3 x 7) +  (3 x 9) = 21 + 27 = 48
     Jadi, 3 x (7 + 9) = (3 x 7) +  (3 x 9)
=> Pengurangan : 3 x (7 - 9) = 3 x (-2) = -6
                              (3 x 7) - (3 x 9) = 21 - 27 = -6
     Jadi, 3 x (7 - 9) = (3 x 7) - (3 x 9)


4. Menggunakan Sifat - Sifat Operasi Hitungan

Sifat disributif bisa digunakan pada perkalian dua bilangan, di mana salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Perhatikan pembahasan contoh soal berikut ini.
Contoh 1 :
1. 2 x 156 = ....
2. 5 x 74 = ....

Penyelesaian :
1. 2 x 156 = 2 x (100 + 50 + 6)
                 = (2 x 100) + (2 x 50) + (2 x 6)
                 = 200 + 100 + 12
                 = 312
    Jadi, 2 x 156 = 312

2. 5 x 74 = 5 x (70 + 4)
               = (5 x 70) + (5 x 4)
               = 350 + 20
               = 370
   Jadi, 5 x 74 = 370

Conoh 2 :
1. (2 x 80) + (2 x 35) = ....
2. (5 x 40) + (5 x 74) = ....

Penyelesaian :
1. (2 x 80) + (2 x 35) = 2 x (80 + 35)
                                   = 2 x 115
                                   = 230
    Jadi, (2 x 80) + (2 x 35) = 230

2. (5 x 40) + (5 x 74) = 5 x (40 + 74)
                                   = 5 x 114
                                   = 570
    Jadi, (5 x 40) + (5 x 74) = 570

Cara Mudah Menghitung Perbandingan Senilai atau Seharga

Cara Mudah Menghitung Perbandingan Senilai atau Seharga

Cara Mudah Menghitung Perbandingan Berbalik Nilai maka di dalam postingan kali ini kita juga akan belajar mengenai materi perbandingan yaitu perbandingan senilai. Di sini akan dijelaskan mengenai tips-tips dan Cara Mudah Menghitung Perbandingan Senilai. Silahkan kalian baca dengan cermat serta perhatikan dengan seksama langkah-langkah untuk mengerjakan soal perbandingan dengan baik. Berikut adalah langkah-langkah yang harus kalian perhatikan:

1. Pertama-tama kalian harus mencari bilangan pengali yang didapatkan dari angka real yang telah diketahui kemudian dibagi dengan angka perbandingan (bilangan pengali = angka real : angka perbandingan)  

2. Buatlah tabel yang terdiri atas 4 kolom, meliputi: yang dicari, angka perbandingan, bilangan pengali, serta angka real. 

3. Masukkan angka perbandinganyang akan kalian cari angka realnya pada kolom angka perbandingan,

4. Kalikan bilangan pengalidengan angka perbandingan agar bisa didapatkan angka real (angka real = angka perbandingan x bilangan pengali)

Jika kalian masih bingung dengan langkah-langkah di atas, mari coba kita praktekkan langsung untuk mengerjakan beberapa contoh soal di bawah ini:

Cara Mudah Mengerjakan Soal Perbandingan Senilai


Contoh Soal 1:

Perbandingan umur Arya dengan umur Ibu adalah 3 : 9. Apabila umur Ibu adalah 45 tahun, maka:

a. Berapakah umur Arya?
b. Berapa jumlah umur keduanya?
c. Berapakah selisih umur mereka?

Penyelesaiannya:
di dalam soal ini, umur ibu merupakan angka real, yaitu 45 tahun. Sedangkan angka pembandingnya adalah 9. Maka, bilangan pengalinya adalah angka real : angka pembanding = 45 : 9 = 5. 

Lalu kita masukkan ke dalam tabel:
Cara Mudah Menghitung Perbandingan Senilai atau Seharga
Jadi:
a. Umur Arya = 15 tahun
b. Jumlah umur keduanya = 60 tahun
c. Selisih umur mereka = 30 tahun

Contoh Soal 2:

Pak Wayan menjual buah Jambu, Manggis, dan Mangga dengan perbandingan 4 : 6 : 12. Apabila selisih buah Mangga dan Manggis adalah 36 buah, maka hitunglah:

a. jumlah buah jambu
b. jumlah buah manggis
c. jumlah buah mangga
d. jumklah seluruh buah yang dijual
e. selisih buah manggis dengan jambu
f. selisih buah mangga dengan jambu

Penyelesaiannya:
Bilangan pengali = angka real : angka perbandingan
Bilangan pengali = 36 : (perbandingan manga dan manggis) = 36 : (12 – 6) = 32 : 6 = 6

Mari kita buat tabelnya:
Cara Mudah Menghitung Perbandingan Senilai atau Seharga
Jadi:
Jumlah buah jambu = 24
Jumlah buah manggis = 36
Jumlah buah manga = 72
Jumlah seluruh buah yang dijual = 132
Selisih buah manggis dengan jambu = 12
Selisih buah mangga dengan jambu = 48