Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

1. Pangkat Tiga Suatu Bilangan
Di kelas V telah mengenal bilangan pangkat dua. Misalnya 52 dan 62,
52 artinya 5 × 5. sehingga dapat ditulis 52 = 25.
62 artinya 6 × 6. sehingga dapat ditulis 62 = 36.
25 dan 36, disebut bilangan kuadrat.

Dengan cara yang sama, kita dapat memahami pangkat tiga dari suatu bilangan. Misalnya, 53 dan 63
53 artinya 5 × 5 × 5 sehingga dapat ditulis 53 = 125
63 artinya 6 × 6 × 6 sehingga dapat ditulis 63 = 216
125 dan 216 disebut bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.
2. Penarikan Akar Pangkat Tiga
a. Menggunakan Tabel Bilangan Kubik
Contoh: Carilah clip_image002[10] =
1. Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.000 dan 8.000 atau diantara
   103 dan 203 , sehingga hasil dari clip_image002[11] terletak antara 10 dan 20 dan
    dapat dituliskan menjadi clip_image004[5] dengan clip_image006[5].
2. Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 23 jadi nilai
    clip_image008[5]
Didapat clip_image010[5]
b. Menggunakan Faktorisasi Prima
Langkah-langkah :
1. Tentukan faktor prima
2. Kelompokkan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama, sehingga dapat diganti dengan
    faktorisasi prima berpangkat tiga.
3. Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkat tiganya, maka hasilnya bilangan
    tersebut.(clip_image002[14])
   Contoh: Carilah clip_image004[7] =
   1. Faktor prima dari 1728 adalah 2 dan 3, 1.728 = 26 × 33
   2. Pengelompokan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama
        1728 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)
       = 23 × 23 × 33
Jadi clip_image006[7]
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK adalah bilangan yang merupakan persekutuan yang kecil dari kelipatan dua bilanagan atau lebih.

1. Langkah-langkah menentukan KPK.
a. Mencari faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.
b. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut.
c. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, maka ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.
Contoh :
Tentukan KPK dari 48 dan 72 !
Jawab :
Mencari faktorisasi prima dari 48 dan 72 dengan pohon faktor :

clip_image001
clip_image001[4]
Faktorisasi prima dari 48 adalah 48 = 24 × 3.
Faktorisasi prima dari 72 adalah 48 = 23 × 32.
a.Mengambil faktor yang sama dari 48 dan 72 yaitu 2 dan 3
b. Ada faktor yang sama tetapi pangkatnya berbeda maka diambil faktor yang pangkatnya terbesar
    yaitu 24 dan 32.
Kesimpulan : KPK dari 48 dan 72 adalah 24 × 32 = 16 × 9 = 144
2. Penggunaan KPK untuk Menyelesaikan Soal Cerita
Contoh :
Alvin mengunjungi perpustakaan setiap 3 hari sekali dan Zury setiap 4 hari sekali. Jika tanggal 20 Mei mereka mengunjungi perpustakaan, mereka akan ke perpustakaan secara bersamaan lagi pada tanggal ....?
(soal UASBN nomor 12 Tahun Pelajaran 2009/2010)
Jawab :
Soal di atas adalah soal kontekstual untuk konsep KPK.
Kelipatan dari 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...
Kelipatan dari 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12, 24, 36, ...
Artinya Alvin dan Zury akan bertemu pada hari ke-12, ke-24, ke-36, dan seterusnya.
Kelipatan persekutuan terkecil adalah 12. Artinya mereka akan bertemu lagi untuk yang pertama kalinya pada hari ke-12.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB adalah bilanagan terbesar yanag habis membagi dua bilangan atau lebih.

1. Langkah-langkah pengerjaan FPB
a. Mencari faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
b.Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.
c. Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, maka ambillah faktor yang pangkatnya terkecil.
Contoh :
Tentukan FBB dari 48 dan 72 !
Jawab :
Mencari faktorisasi prima dari 48 dan 72 dengan pohon faktor :
clip_image001
clip_image001[4]
Faktorisasi prima dari 48 adalah 48 = 24 × 3.
Faktorisasi prima dari 72 adalah 48 = 23 × 32.
a.  Mengambil faktor yang sama dari 48 dan 72 yaitu 2 dan 3
b. Ada faktor yang sama tetapi pangkatnya berbeda maka diambil faktor yang pangkatnya terkecil
    yaitu 23 dan 3.
Kesimpulan : FPB dari 48 dan 72 adalah 23 × 3 = 8 × 3 = 24
2. Penggunaan FPB untuk Menyelesaikan Soal Cerita
Contoh :
Pak Agung membagikan 48 kg beras, 64 kg telur, dan 80 kg gula pasir kepada beberapa tetangganya dalam bentuk paket lebaran. Tiap paket terdiri atas 3 jenis barang. Antara paket yang satu dan paket yang lain berisi jenis barang dan jumlah yang sama. Berapa paket terbanyak yang dapat dibuat?
(soal UASBN nomor 14 Tahun Pelajaran 2009/2010)
Jawab :
Membagi sama banyak maksimal kepada berapa orang dengan menggunakan pendekatan kontekstual FPB
Faktorisasi prima dari 48 adalah 48 = 24 × 3
Faktorisasi prima dari 64 adalah 64 = 26
Faktorisasi prima dari 80 adalah 80 = 24 × 5
FPB dari 48, 64, dan 80 adalah 24 = 16
Jadi paket terbanyak yang dapat dibuat 16 buah
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

1. Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.
Contoh Bilangan Prima :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}
2. Faktorisasi Prima
Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.
Cara mencari faktorisasi prima :
a. Menggunakan Pohon Faktorclip_image001
    Faktorisasi prima dari 30 adalah 2 × 3 × 5



b. Dengan Pembagian Bersusun
clip_image002
Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat

Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat

1. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
a. Sifat Komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Sifat ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.
Sifat komutatif pada Penjumlahan
Bentuk umum dari sifat komutatif pada penjumlahan yaitu a + b = b + a. Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
5 + 7 = 12
7 + 5 = 12
Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
Sifat komutatif pada Perkalian
Bentuk umum dari sifat komutatif pada perkalian yaitu a x b = b x a . Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
5 × 7 = 35
7 × 5 = 35
Jadi, 5 × 7 = 7 × 5
b. Sifat Asosiatif
Sifat Asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini juga hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.
Bentuk umum dari sifat Asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) dan operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) .
Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
Sifat Asosiatif pada Penjumlahan
Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) . Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
(5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12
5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12
Jadi, (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4).
Pada Perkalian
Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) .Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
(5 × 3) × 4 = 15 × 4 = 60
5 × (3 × 4) = 5 × 12 = 60
Jadi, (5 × 3) × 4 = 5 × (3 × 4).
c. Sifat Distributif
Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran.
Sifat distributif ada 2 yaitu :
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dengan bentuk umum
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ).
Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
6 × ( 4 + 5 ) = 6 × 9 = 54
( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) = 24 + 30 = 54
Jadi, 6 × ( 4 + 5 ) = ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 )
Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan dengan bentuk umum
a x ( b – c ) = ( a x b ) – ( a x c )
Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini :
7 × ( 9 − 6 ) = 7 × 3 = 21
( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 ) = 63 − 42 = 21
Jadi, 7 × ( 9 − 6 ) = ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 )
2. Menggunakan Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung
Operasi Hitung Perkalian perkalian jika salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar, salah satu cara mempermudah pengerjaanya dengan menggunakan sifat distriburif.
Contoh :
9 × 456 = 9 × ( 400 + 50 + 6 )
            = ( 9 × 400 ) + ( 9 × 50 ) + ( 9 × 6 )
            = 3600 + 450 + 54
            = 4104
Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan

Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan

1. Sifat Komutatif
Sifat komutatif merupakan sifat pertukaran. Misal ada penjumlahan atau perkalian dua buah bilangan. Jika kedua bilangan ditukarkan hasilnya tetap sama. Apakah pertukaran berlaku untuk pengurangannya?
Untuk memahami sifat komutatif, perhatikan contoh di bawah ini :
  • Penjumlahan
    contoh : 56 + 64 = 120 dan 64 + 56 = 120 sehingga 56 + 64 = 64 + 56
  • Perkalian
    contoh : 12 x 24 = 288 dan 24 x 12 = 24 sehingga 12 x 24 = 24 x 12
Perhatikan operasi berikut ini !
19 – 6 = 13 dan 6 – 19 = – 13, sehingga dapat disimpulkan sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan
2. Sifat Assosiatif
.
Sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokan. Misalnya operasi penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan. Operasi tersebut dikelompokkan secara berbeda.Hasil operasinya tetap sama.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3. Sifat Distributif
Sifat distributif merupakan sifat penyebaran. Untuk lebih memahami sifat distributif,
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
Contoh 2
Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.
4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung
.
Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
                  = (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)
                  = 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.
b. 6 × 98 = 6 × (100 – 2)
               = (6 × 100) – (6 × 2)
               = 600 – 12
               = 588
Jadi, 6 × 98 = 588.
Contoh 2
a. (3 × 46) + (3 × 54) = ....
b. (7 × 89) – (7 × 79) = ....
Jawab:
a. (3 × 46) + (3 × 54) = 3 × (46 + 54)
                                    = 3 × 100
                                    = 300
Jadi, (3 × 46) + (3 × 54) = 300.
b. (7 × 89) – (7 × 79) = 7 × (89 – 79)
                                   = 7 × 10
                                   = 70
Jadi, (7 × 89) – (7 × 79) = 70.
Rumus Geometri Dimensi Dua

Rumus Geometri Dimensi Dua

Pengertian Matrik
Matrik adalah himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung.

Tanda kurung yang dipakai : Kurung Biasa ( ), Kurung Siku [ ] , atau kurung bergaris dua || ||.
Daftar diatas dapat digambarkan seperti:

Contohnya:

Hubungan Matrik dengan Matrik
Definisi:
Dua buah Matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika:
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur - unsur yang seletak pada matriks  A dan Matriks B sama.

Macam-macam Matriks

a. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu bari, contohnya:

b. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom, contohnya:

c. Matriks Persegi atau Matriks Bujung Sangkar
Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar adalah  matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom, contohnya:

d. Matriks Nol
Matriks Nol adalah satu matriks m x n yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf  O. Contohnya:

e. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0. Contohnya:

f. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matrik bujur sangkar yang semua unsurnya, kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. Contohnya:

g. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. Contohnya:

h. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis edngan huruf I. Contohnya:

i. Matriks Simetris
Matriks Simetris adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada bari ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji. Contohnya:

j. Matriks Mendatar
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contohnya:

k.Matriks Tegak
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih banyaknya kolom. Contohnya:

l. Matriks Transpos (Notasi At)
Matriks Transpos (Notasi At) adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama
Matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua Matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.
Misalnya Matriks A.
Maka Transpos A adalah At