Ayo Belajar

Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan

Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Selamat datang Teman Teman Di Tempat Belajar Matematika Oline, Disini kalian akan menemukan berbagai solusi dari pelajaran matematika yang kalian butuhkan, Didalam sini merupakan referensi belajar anda bukan berarti sebagai patokan belajar. Materi yang Tersedia disini Diantaranya Materi Matematika Sd, SMP, SMA, SMK, Contoh Soal dan Pembahasan, Matematika Dasar, Matematika SMP,matematika aljabar,Matematika Akutansi, Matematika Ekonomi,matematika anak usia dini, Matematika Diskrit, Dan pada kesempatan kali ini Materi matematika yang kami bagikan kali ini yaitu Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum, Tetap semangat belajar matematika Karena Matematika itu Mudah Berikut Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum Selengkapnya.

lihat juga


Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Konsep himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan menggunakan himpunan. 

A.  Pengertian Himpunan dan Notasi Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan.

B.  Penulisan Himpunan
  • Cara mendaftar/tabular form
yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form
yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.
Contoh:


C.  Jenis-Jenis Himpunan
  • Himpunan Kosong
Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan   atau {}.

Contoh:




  • Himpunan Universal (Semesta)
Himpunan universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi 
Contoh:



  • Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan Bagian (Subset) dilambangkan dengan   jika dan hanya jika
Contoh: A  B
1)   Finit (berhingga) 
2)   Infinit (tak berhingga) 

  • Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A).
Contoh: A = {1, 2, 3}

D.  Operasi-Operasi Pada Himpunan
  •  Gabungan (Union)
Untuk , gabungan (union) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen dari A atau B.
Jadi,
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • Irisan (Intersection)
Untuk irisan (intersection) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk di A dan B.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}
  • Saling Asing (Disjoint)
Misalkan
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {6, 7, 8, 9}
Secara umum, jika A1, A2, A3, …, An adalah subhimpunan U, maka dapat dinotasikan dan dapat dinotasikan .
  • Selisih (Difference)
Untuk , selisih (difference) dari B dan A dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A tetapi tidak di B. Untuk
Jadi, .
Diagram venn untuk da:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3}
= {5, 6}
  • Komplemen (Complement)
Untuk , komplemen (complement) dari A dilambangkan dengan atau Ac atau A adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di U dan tidak di A.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
  = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
  • Selisih Simetrik (Symmetric Difference)
Untuk , selisih simetrik (symmetric difference) A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A atau di B tetapi tidak dalam keduanya.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
 = {1, 2, 3} {5, 6}
 = {1, 2, 3, 5, 6}

E.   Sifat-Sifat Operasi Himpunan
  •  Hukum Komutatif





  •  Hukum Asosiatif



  •  Hukum Distributif





  •  Hukum Idempoten





  •  Hukum Komplemen




  •  Hukum De Morgan




  •  Sifat Himpunan Universal





  •  Sifat Himpunan Kosong





  •  Hukum Identitas





  •  Hukum Invers





  •  Hukum Dominasi





  •  Hukum Absorpsi




F.   Relasi dan Fungsi
  •  Pengertian dan Hasil Kali Fungsi
1)   Definisi Fungsi

Contoh:
a)    A = {a, b, c}
B = {p, q}
f : ?
b)   P = {k, l}
Q = {m, n}
f : ?
Note:
Bukan fungsi karena ada 1 elemen pada domain yang berpasangan.
Fungsi onto range = kodomain
2)   Hasil Kali Fungsi
Definisi:





Contoh:
  •  Fungsi Invers dan Grafik Invers
1)   Fungsi Invers
Misal suatu fungsi , maka invers dari b dinyatakan dengan
f-1(b) yaitu:
terdiri dari elemen-elemen A yang dipetakan pada b.
Contoh 1:
Misal f : didefinisikan dengan diagram sebagai berikut:
Maka f-1(p) = {l} karena l dipetakan ke p, f-1(q) = {k, m} karena k dan m dipetakan ke q, dan f-1(r) = {n} karena n dipetakan ke r.
Contoh 2:
Misal g : didefinisikan oleh
Maka g-1(2) = {-2, 2} karena bayangan dari 2 adalah -2 dan 2, yaitu nilai mutlak dari -2 dan 2 adalah 2.
Sekarang kita perhatikan kembali fungsi maka
 

Contoh 3:
Misal didefinisikan seperti pada contoh 1, jika D = {p, q} maka f-1(D) = {k, l, m}, karena yang dipetakan ke p atau q adalah k, l, dan m.
Misal  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap ,
f-1(b) mempunyai satu elemen tunggal dalam A.
Oleh karena itu, ada suatu aturan yang memasangkan setiap  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : .
Contoh 4:
Misal didefinisikan oleh diagram berikut:
Karena adalah fungsi satu-satu dan onto maka f-1 dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : ada, yaitu seperti diagram berikut:
Contoh 5:
Misal didefinisikan oleh g(x) = x2 maka g-1 tidak ada karena g bukan fungsi satu-satu.
Teorema Fungsi Invers:
Misal adalah satu-satu dan pada (onto) sehingga f-1 ada, maka:
a)    adalah fungsi satuan pada A.
b)   adalah fungsi satuan pada B.
Contoh I:
Misal dan f-1
Contoh II:
Misal . Tentukan f-1(x) dan ?
Jawab:
2)   Grafik Fungsi
Misal suatu fungsi . Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut yang mana muncul sebagai elemen pertama dan bayangannya sebagai elemen kedua, dinyatakan sebagai:
perlu diperhatikan bahwa yaitu grafik fungsi f merupakan subset dari
A x B.
Contoh 6:
didefinisikan seperti pada contoh 1, maka diperoleh f(k) = q, f(l) = p, f(m) = q, dan f(n) = r, sehingga: f* = {(k, q), (l, p), (m, q), (n, r)}
Contoh 7:
Misal A = {1, 2, 3}, didefinisikan sebagai f(x) = 2x -1 maka diperoleh: g(1) = 1, g(2) = 3, dan g(3) = 5 sehingga: g* = {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}
Contoh 8:
Misal (R adalah himpunan bilangan real) didefinisikan sebagai h(x) = x2 + 1 maka diperoleh: h(0) = 1, h(-1) = 2, h(1) = 2, … sehingga h* = {…, (-1,2), (0,1), (1,2), …}.
Selanjutnya grafik dari fungsi pada contoh di atas, yaitu f*, g*, dan h* dapat digambarkan pada diagram koordinat Cartesius (bidang Cartesius) secara berturut-turut sebagai berikut:
Grafik suatu fungsi pada diagram koordinat Cartesius apabila diperhatikan mempunyai dua sifat sebagai berikut:
a)    Untuk setiap   maka ada satu pasangan terurut .
b)   Jika dan maka b = c.


Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum
Demikianlah Pembahasan Kita Kali ini Mengenai Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum,Semoga kalian bisa memahami penjelasan materi di atas dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!.

artikel ini url permalinknya adalah http://www.belajarmatematika.info/2011/06/materi-teori-himpunan-untuk-kalangan.html Beri tahu teman teman kalian tentang artikel ini agar bisa lebih bermanfaat. Terima Kasih Telah Berkunjung dan Tetap Semangat Dalam Belajar
Blogger
Disqus

No comments