Selamat Datang Di Website Belajar Matematika Merupakan Kumpulan Materi Matematika SD, Materi Matematika SMP, Materi Matematika SMA/SMK, Contoh Soal dan Pembahasan
Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Pembahasan Materi Matematika Rumus Limas Segi Tiga dan Limas Segi Empat

Bangun Ruang Limas 


Rumus Limas Segi Tiga 

Limas Segi tiga V = 1/3 x {1/2 x Panjang x Lebar } x Tinggi

Bangun Ruang
Nama : Limas Segi Tiga
Luas : L = jumlah luas keempat sisinya
Volume : V = 1/3 x {1/2 x Panjang x Lebar } x Tinggi
Jumlah Sisi : 4
Jumlah RusuK : 6
Titik Sudut : 4


Rumus Limas Segi Empat

Limas Segi empat V = 1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi

Bangun Ruang

Nama : Limas Segi Empat
Luas : jumlah luas keempat sisinya
Volume : 1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi
Jumlah Sisi : 5
Jumlah RusuK : 8
Titik Sudut : 5






Latihan Soal Limas




Perhatikan gambar disamping !
Alas sebuah limas berbentuk persegi yang panjangnya 10 cm dan tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm.
Hitunglah tinggi limas dan luas limas!

 NB: Cobalah terlebih dahulu sebelum melihat jawabnya.





JAWAB:
   Tinggi limas = 13
                                 
    Luas limas    = s2 + 2at
                          = 102  + 2.10.13
                          = 100 + 260 
                          = 360 cm2
 
    Jadi, luas limas adalah 360 cm2

Teory Himpunan

Teory Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita sudah mengenal tentang himpunan. Contoh: sekelompok burung dan sekumpulan ikan . masing-masing kata “kelompok” dan “kumpulan” dapat diganti denagn kata “himpunan”.
Pada saat ini kita akan membahas tentang himpunan untuk siswa SMP. Materi yang akan kita pelajari adalah pengertian dan notasi himpunan, himpunan bagian, dan diagram venn

Pengertian dan Notasi Himpunan

Sebelum kita membahas lebih lanjut tentang himpunan, ada baiknya bila kita memahami dulu pengertian dan notasi himpunan.
#Apakah arti himpunan itu ?#
Perhtikan dua kumpulan berikut !
1. Kumpulan wanita cantik
2. Kumpulan pisang, anggur, strawberry
Pada bagian (1) pengertian cantik itu relative untuk setiap orang. Sehingga kita bisa katakan pada bagian (1) bukan merupakan himpunan karena anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Sedangkan kumpulan pada benda atau objek pada bagian (2) dapat didefinisikan sebagai kumpulan buah. Kumpulan demikian disebut himpunan karena anggotanya dapat ditetapkan dengan jelas. Dengan demikian , sekarang kita mengetahui apa arti himpunan itu sendiri. Himpunan adalah kumpulan benda / objek yang didefinisikan dengan jelas.
Contoh :
A = {binatang berkaki 4}
B = {alat-alat tulis}
C = {mata pelajaran di SMP}

Menyatakan Suatu Himpunan

Berikut beberapa cara menyatakan suatu himpunan.
Dengan menyebutkan syarat-syarat keanggotaan
Contoh :
P = {bilangan asli antara 4 dan 10}
Q = {bilangan genap yang kurang dari 15}
Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya
Anggota himpunan dituliskan didalam kurung kurawal, antara anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan menggunakan tanda koma.
Contoh :
Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.
A = {gajah,jerapah,macan,zebra}
B = {pensil,penggaris,penghapus,jangka}
Dengan notasi pembentuk himpunan.
Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.
Contoh : a,b,c,d,…,z
Menuliskan syarat anggotanya di belakang tanda “|’.
Contoh : {x|x<5 asli="" bilangan="" br="" x=""> Dibaca : himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5 dan x bilangan asli.
Dengan diagram venn
Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram.
Contoh :


Gambar diatas adalah diagram venn. A = {1,2,3,4,5}

Anggota himpunan
1. Menyatakan anggota suatu himpunan
Setiap benda (objek) yang terdapat didalam himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu. Untuk menuliskan anggota himpunan, dipakai notasi “∈” dan untuk menuliskan bukan anggota, dipakai notasi


Contoh
Bila A = {2,3,5,7} maka :
2 termuat di A,berarti 2 anggota A dan ditulis 2 ∈ A
4 tidak termuat di A, berarti 4 bukan anggota A dan ditulis 4 ∈ A
2. Menyatakan banyaknya anggota suatu bilangan
Untuk menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan A,digunakan lambang n(A).
Contoh Soal :
Tentukan banyaknya anggota dari himpunan-himpunan berikut !
A = {kuda,kerbau,sapi,kambing}
B = {sapu,cangkul,palu,ember,keranjang}
C = {segitiga,persegi,persegi panjang}
Jawab :
Banyaknya anggota A = 4, ditulis n(A) = 4
Banyaknya anggota B = 5, ditulis n(B) = 5
Banyaknya anggota C = 3, ditulis n(C) = 3

Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”
Contoh : A = {1,2,3,4,5,…}
2. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”
Contoh : C = {0,1,2,3,4,…}
3. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”
Contoh : P = {2,3,5,7,11…}
4. Himpunan bilangan genap
Himpunan bilangan genap dilambangkan dengan huruf “G”
Contoh : G = {2,4,6,8,10,…}
5. Himpunan bilangan ganjil
Himpunan bilangan ganjil dilambangkan denganhuruf “J”
Contoh : G = {1,3,5,7,9,…}
6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)
Himpunan bilangan komposit dilambangkan dengan huruf “T”
Contoh : T = {4,6,8,9,10,12,…}

Jenis-jenis Himpunan

^ Himpunan tak berhingga
Contoh :
A = {1,3,5,7,…} ; n(A) tak berhingga, atau n(A) = ∞
A disebut himpunan tak berhingga
^ Himpunan berhingga
Contoh :
B = {1,3,5,7,9} ; n(B) = 5
B disebut himpunan berhingga
^ Himpunan kosong
C = {bilangan prima antara 7 dan 9}
Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0
C disebut himpunan kosong.

Diagram Venn

Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang ahli matematika dari Inggris (1834 - 1923), memperkenalkan cara menyatakan himpunan dengan diagram.
Diagram tersebut dinamakan diagram Venn.
Menyatakan diagram Venn
(i) Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.
(ii) Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) di dalam kurva.
(iii) Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.
Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Konsep himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan menggunakan himpunan. 

A.  Pengertian Himpunan dan Notasi Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan.

B.  Penulisan Himpunan
  • Cara mendaftar/tabular form
yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form
yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.
Contoh:


C.  Jenis-Jenis Himpunan
  • Himpunan Kosong
Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan   atau {}.

Contoh:




  • Himpunan Universal (Semesta)
Himpunan universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi 
Contoh:



  • Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan Bagian (Subset) dilambangkan dengan   jika dan hanya jika
Contoh: A  B
1)   Finit (berhingga) 
2)   Infinit (tak berhingga) 

  • Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A).
Contoh: A = {1, 2, 3}

D.  Operasi-Operasi Pada Himpunan
  •  Gabungan (Union)
Untuk , gabungan (union) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen dari A atau B.
Jadi,
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • Irisan (Intersection)
Untuk irisan (intersection) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk di A dan B.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}
  • Saling Asing (Disjoint)
Misalkan
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {6, 7, 8, 9}
Secara umum, jika A1, A2, A3, …, An adalah subhimpunan U, maka dapat dinotasikan dan dapat dinotasikan .
  • Selisih (Difference)
Untuk , selisih (difference) dari B dan A dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A tetapi tidak di B. Untuk
Jadi, .
Diagram venn untuk da:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3}
= {5, 6}
  • Komplemen (Complement)
Untuk , komplemen (complement) dari A dilambangkan dengan atau Ac atau A adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di U dan tidak di A.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
  = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
  • Selisih Simetrik (Symmetric Difference)
Untuk , selisih simetrik (symmetric difference) A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A atau di B tetapi tidak dalam keduanya.
Jadi, .
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
 = {1, 2, 3} {5, 6}
 = {1, 2, 3, 5, 6}

E.   Sifat-Sifat Operasi Himpunan
  •  Hukum Komutatif





  •  Hukum Asosiatif



  •  Hukum Distributif





  •  Hukum Idempoten





  •  Hukum Komplemen




  •  Hukum De Morgan




  •  Sifat Himpunan Universal





  •  Sifat Himpunan Kosong





  •  Hukum Identitas





  •  Hukum Invers





  •  Hukum Dominasi





  •  Hukum Absorpsi




F.   Relasi dan Fungsi
  •  Pengertian dan Hasil Kali Fungsi
1)   Definisi Fungsi

Contoh:
a)    A = {a, b, c}
B = {p, q}
f : ?
b)   P = {k, l}
Q = {m, n}
f : ?
Note:
Bukan fungsi karena ada 1 elemen pada domain yang berpasangan.
Fungsi onto range = kodomain
2)   Hasil Kali Fungsi
Definisi:





Contoh:
  •  Fungsi Invers dan Grafik Invers
1)   Fungsi Invers
Misal suatu fungsi , maka invers dari b dinyatakan dengan
f-1(b) yaitu:
terdiri dari elemen-elemen A yang dipetakan pada b.
Contoh 1:
Misal f : didefinisikan dengan diagram sebagai berikut:
Maka f-1(p) = {l} karena l dipetakan ke p, f-1(q) = {k, m} karena k dan m dipetakan ke q, dan f-1(r) = {n} karena n dipetakan ke r.
Contoh 2:
Misal g : didefinisikan oleh
Maka g-1(2) = {-2, 2} karena bayangan dari 2 adalah -2 dan 2, yaitu nilai mutlak dari -2 dan 2 adalah 2.
Sekarang kita perhatikan kembali fungsi maka
 

Contoh 3:
Misal didefinisikan seperti pada contoh 1, jika D = {p, q} maka f-1(D) = {k, l, m}, karena yang dipetakan ke p atau q adalah k, l, dan m.
Misal  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap ,
f-1(b) mempunyai satu elemen tunggal dalam A.
Oleh karena itu, ada suatu aturan yang memasangkan setiap  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : .
Contoh 4:
Misal didefinisikan oleh diagram berikut:
Karena adalah fungsi satu-satu dan onto maka f-1 dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : ada, yaitu seperti diagram berikut:
Contoh 5:
Misal didefinisikan oleh g(x) = x2 maka g-1 tidak ada karena g bukan fungsi satu-satu.
Teorema Fungsi Invers:
Misal adalah satu-satu dan pada (onto) sehingga f-1 ada, maka:
a)    adalah fungsi satuan pada A.
b)   adalah fungsi satuan pada B.
Contoh I:
Misal dan f-1
Contoh II:
Misal . Tentukan f-1(x) dan ?
Jawab:
2)   Grafik Fungsi
Misal suatu fungsi . Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut yang mana muncul sebagai elemen pertama dan bayangannya sebagai elemen kedua, dinyatakan sebagai:
perlu diperhatikan bahwa yaitu grafik fungsi f merupakan subset dari
A x B.
Contoh 6:
didefinisikan seperti pada contoh 1, maka diperoleh f(k) = q, f(l) = p, f(m) = q, dan f(n) = r, sehingga: f* = {(k, q), (l, p), (m, q), (n, r)}
Contoh 7:
Misal A = {1, 2, 3}, didefinisikan sebagai f(x) = 2x -1 maka diperoleh: g(1) = 1, g(2) = 3, dan g(3) = 5 sehingga: g* = {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}
Contoh 8:
Misal (R adalah himpunan bilangan real) didefinisikan sebagai h(x) = x2 + 1 maka diperoleh: h(0) = 1, h(-1) = 2, h(1) = 2, … sehingga h* = {…, (-1,2), (0,1), (1,2), …}.
Selanjutnya grafik dari fungsi pada contoh di atas, yaitu f*, g*, dan h* dapat digambarkan pada diagram koordinat Cartesius (bidang Cartesius) secara berturut-turut sebagai berikut:
Grafik suatu fungsi pada diagram koordinat Cartesius apabila diperhatikan mempunyai dua sifat sebagai berikut:
a)    Untuk setiap   maka ada satu pasangan terurut .
b)   Jika dan maka b = c.